给定整数数组 nums，返回最长严格递增子序列的长度；
进阶：
你可以设计时间复杂度为 O(N^2) 的解决方案吗？
你能把时间复杂度降到 O(NlogN) 吗?详细描述
给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。
子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。
示例 1：
输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。
示例 2：
输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4
示例 3：
输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1
提示：
1 <= nums.length <= 2500
-104 <= nums[i] <= 104
进阶：
你可以设计时间复杂度为 O(n2) 的解决方案吗？
你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log(n)) 吗?
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/longest-increasing-subsequence
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。状态定义：dp[i] 表示以 nums[i] 结尾的最长递增子序列长度；
不能将
dp[i]定义nums[:i]子数组中的最长递增子序列长度，虽然这样定义很直观，但它不满足最优子结构的条件，简单来说，就是你无法通过dp[i-1]得到dp[i]。
Python
class Solution:
def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
ret = 1
dp = [1] * len(nums)
for i in range(1, len(nums)):
for j in range(i):
if nums[i] > nums[j]: # 如果要求非严格递增，将 '>' 改为 '>=' 即可
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
ret = max(ret, dp[i])
return ret- 考虑新的状态定义：
dp[i]表示长度为i + 1的最长递增子序列末尾的最小值；dp序列一定时单调递增的，可用反证法证明，详见：最长递增子序列（动态规划 + 二分查找，清晰图解） - Krahets该怎么想出这个定义？——多看多做
- 是否满足最优子结构？
- 即已知
dp[i - 1]能否递推得到dp[i]；显然是可以的，当nums[i] > dp[i - 1]时，长度+1，否则，长度不变；
- 即已知
- 如何更新
dp？- 当
nums[i] > dp[i - 1]时，直接添加到末尾； - 否则，要看是否需要更新
dp。根据dp递增的性质，找到nums[i]在dp中应该插入的位置，记idx；比较dp[idx]与nums[i]的大小，如果dp[idx] > nums[i]根据定义，更新dp[idx] = nums[i]；
- 当
从“贪心”角度来解释以上过程：如果我们要使上升子序列尽可能的长，则应该让序列上升得尽可能慢，即每次在上升子序列最后加上的那个数尽可能的小。
Python
class Solution:
def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
if not nums: return 0
# from bisect import bisect_left
# 手写二分查找
def bisect_left(ls, x):
l, r = 0, len(ls)
while l < r:
m = (l + r) // 2
if ls[m] < x: # 注意这里要 <，如果是 <= 就是 bisect_right 了，不满足题意
l = m + 1
else:
r = m
return l
dp = [nums[0]] # dp[i] 表示长度为 (i+1) 的 LIS 的最后一个元素的最小值
for x in nums[1:]:
if x > dp[-1]:
dp.append(x)
else:
idx = bisect_left(dp, x) # 不能使用 bisect/bisect_right
# if dp[idx] > x:
# dp[idx] = x
dp[idx] = x # 因为 bisect_left 返回的定义就是 dp[idx] <= x，所以可以直接赋值
return len(dp)
给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，使这些整数的乘积最大化。返回最大乘积。详细描述
给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m-1] 。请问 k[0]*k[1]*...*k[m-1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。
示例 1：
输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1
示例 2:
输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36
提示：
2 <= n <= 58
来源：力扣（LeetCode）
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Python（写法1）
LeetCode 官方题解中的写法：整数拆分
class Solution:
def integerBreak(self, n: int) -> int:
dp = [1] * (n + 1)
for i in range(2, n + 1):
for j in range(1, i):
# 状态定义：dp[i] 表示长度为 i 并拆分成至少两个正整数后的最大乘积（i>=1）
# j * (i - j) 表示将 i 拆分成 j 和 i-j，且 i-j 不再拆分
# j * dp[i - j] 表示将 i 拆分成 j 和 i-j，且 i-j 会继续拆分，dp[i-j] 即为继续拆分的最优结果（最优子结构）
dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]))
return dp[n]Python（写法2，推荐）
《剑指Offer》中的写法
class Solution:
def cuttingRope(self, n: int) -> int:
# 对于 n = 2、3 的情况，直接硬编码
if n == 2:
return 1
if n == 3:
return 2
# 状态定义：dp[i] 表示长度为 i 并拆分成至少两个正整数后的最大乘积（i>3）
# 当 i <= 3 时，不满足该定义，此时不拆效率最高
# 初始状态（dp[0] 仅用于占位）
dp = [0,1,2,3] + [0] * (n - 3)
for i in range(4, n + 1):
for j in range(2, i):
dp[i] = max(dp[i], dp[i-j] * dp[j])
return dp[n]-
数学上可证：尽可能按长度为 3 切，如果剩余 4，则按 2、2 切；
-
简述：当
x >= 4时，有2(x-2) = 2x - 4 >= x；简言之，对任意大于等于 4 的因子，都可以拆成 2 和 x-2 而不损失性能；因此只需考虑拆成 2 或 3 两种情况（1除外）；而由于2*2 > 3*1和3*3 > 2*2*2，可知最多使用两个 2；
Python
class Solution:
def cuttingRope(self, n: int) -> int:
import math
if n <= 3:
return n - 1
a, b = n // 3, n % 3
if b == 1:
return int(math.pow(3, a - 1) * 4)
elif b == 2:
return int(math.pow(3, a) * 2)
else:
return int(math.pow(3, a))