1. 数位 DP 简介

1.1 数位 DP 简介

数位动态规划：简称为「数位 DP」，是一种与数位相关的一类计数类动态规划问题，即在数位上进行动态规划。这里的数位指的是个位、十位、百位、千位等。

数位 DP 一般用于求解给定区间 $[left, right]$ 中，满足特定条件的数值个数，或者用于求解满足特定条件的第 $k$ 小数。

数位 DP 通常有以下几个特征：

题目会提供一个查询区间（有时也会只提供区间上界）来作为统计限制。
题目中给定区间往往很大（比如 $10^9$），无法采用朴素的方法求解。
题目中给定的给定的限定条件往往与数位有关。
要求统计满足特定条件的数值个数，或者用于求解满足特定条件的第 $k$ 小数。

题目要求一段区间 $[left, right]$ 内满足特定条件的数值个数，如果能找到方法计算出前缀区间 $[0, n]$ 内满足特定条件的数值个数，那么我们就可以利用「前缀和思想」，分别计算出区间 $[0, left - 1]$ 与区间 $[0, right]$ 内满足特定条件的数值个数，然后将两者相减即为所求答案。即：$res[left, right] = res[0, right] - res[0, left - 1]$。

在使用「前缀和思想」思想后，问题转换为计算区间 $[0, n]$ 内满足特定条件的数值个数。

接下来就要用到数位 DP 的基本思想。

数位 DP 的基本思想：将区间数字拆分为数位，然后逐位进行确定。

我们通过将区间上的数字按照数位进行拆分，然后逐位确定每一个数位上的可行方案，从而计算出区间内的可行方案个数。

数位 DP 可以通过「记忆化搜索」的方式实现，也可以通过「迭代递推」的方式实现。因为数位 DP 中需要考虑的参数很多，使用「记忆化搜索」的方式更加方便传入参数，所以这里我们采用「记忆化搜索」的方式来实现。

在使用「记忆化搜索」的时候，需要考虑的参数有：

当前枚举的数位位置（$pos$）。
前一位数位（或前几位数位）的情况，比如前几位的总和（$total$）、某个数字出现次数（$cnt$）、前几位所选数字集合（通常使用「状态压缩」的方式，即用一个二进制整数 $state$ 来表示）等等。
前一位数位（或前几位数位）是否等于上界的前几位数字（$isLimit$），用于限制本次搜索的数位范围。
前一位数位是否填了数字（$isNum$），如果前一位数位填了数字，则当前位可以从 $0$ 开始填写数字；如果前一位没有填写数字，则当前位可以跳过，或者从 $1$ 开始填写数字。
当前位数位所能选择的最小数字（$minX$）和所能选择的最大数字（$maxX$）。

对应代码如下：

class Solution:
    def digitDP(self, n: int) -> int:
        # 将 n 转换为字符串 s
        s = str(n)
        
        @cache
        # pos: 第 pos 个数位
        # state: 之前选过的数字集合。
        # isLimit: 表示是否受到选择限制。如果为真，则第 pos 位填入数字最多为 s[pos]；如果为假，则最大可为 9。
        # isNum: 表示 pos 前面的数位是否填了数字。如果为真，则当前位不可跳过；如果为假，则当前位可跳过。
        def dfs(pos, state, isLimit, isNum):
            if pos == len(s):
                # isNum 为 True，则表示当前方案符合要求
                return int(isNum)
            
            ans = 0
            if not isNum:
                # 如果 isNumb 为 False，则可以跳过当前数位
                ans = dfs(pos + 1, state, False, False)
            
            # 如果前一位没有填写数字，则最小可选择数字为 0，否则最少为 1（不能含有前导 0）。
            minX = 0 if isNum else 1
            # 如果受到选择限制，则最大可选择数字为 s[pos]，否则最大可选择数字为 9。
            maxX = int(s[pos]) if isLimit else 9
            
            # 枚举可选择的数字
            for x in range(minX, maxX + 1): 
                # x 不在选择的数字集合中，即之前没有选择过 x
                if (state >> x) & 1 == 0:
                    ans += dfs(pos + 1, state | (1 << x), isLimit and x == maxX, True)
            return ans
    
        return dfs(0, 0, True, False)

接下来，我们通过一道简单的例题来具体了解一下数位 DP 以及解题思路。

1.2 统计特殊整数

1.2.1 题目大意

描述：给定一个正整数 $n$。

要求：求区间 $[1, n]$ 内的所有整数中，特殊整数的数目。

说明：

特殊整数：如果一个正整数的每一个数位都是互不相同的，则称它是特殊整数。
$1 \le n \le 2 \times 10^9$。

示例：

示例 1：

输入：n = 20
输出：19
解释：1 到 20 之间所有整数除了 11 以外都是特殊整数。所以总共有 19 个特殊整数。

示例 2：

输入：n = 5
输出：5
解释：1 到 5 所有整数都是特殊整数。

1.2.2 解题思路

思路 1：动态规划 + 数位 DP

将 $n$ 转换为字符串 $s$，定义递归函数 def dfs(pos, state, isLimit, isNum): 表示构造第 $pos$ 位及之后所有数位的合法方案数。接下来按照如下步骤进行递归。

从 dfs(0, 0, True, False) 开始递归。 dfs(0, 0, True, False) 表示：
1. 从位置 $0$ 开始构造。
2. 初始没有使用数字（即前一位所选数字集合为 $0$）。
3. 开始时受到数字 $n$ 对应最高位数位的约束。
4. 开始时没有填写数字。
如果遇到 $pos == len(s)$，表示到达数位末尾，此时：
1. 如果 $isNum == True$，说明当前方案符合要求，则返回方案数 $1$。
2. 如果 $isNum == False$，说明当前方案不符合要求，则返回方案数 $0$。
如果 $pos \ne len(s)$，则定义方案数 $ans$，令其等于 $0$，即：$ans = 0$。
如果遇到 $isNum == False$，说明之前位数没有填写数字，当前位可以跳过，这种情况下方案数等于 $pos + 1$ 位置上没有受到 $pos$ 位的约束，并且之前没有填写数字时的方案数，即：ans = dfs(i + 1, state, False, False)。
如果 $isNum == True$，则当前位必须填写一个数字。此时：
1. 根据 $isNum$ 和 $isLimit$ 来决定填当前位数位所能选择的最小数字（$minX$）和所能选择的最大数字（$maxX$），
2. 然后根据 $[minX, maxX]$ 来枚举能够填入的数字 $x$。
3. 如果之前没有选择 $x$，即 $x$ 不在之前选择的数字集合 $state$ 中，则方案数累加上当前位选择 $x$ 之后的方案数，即：ans += dfs(pos + 1, state | (1 << x), isLimit and x == maxX, True)。
  1. state | (1 << x) 表示之前选择的数字集合 $state$ 加上 $x$。
  2. isLimit and x == maxX 表示 $pos + 1$ 位受到之前位限制和 $pos$ 位限制。
  3. $isNum == True$ 表示 $pos$ 位选择了数字。

思路 1：代码

class Solution:
    def countSpecialNumbers(self, n: int) -> int:
        # 将 n 转换为字符串 s
        s = str(n)
        
        @cache
        # pos: 第 pos 个数位
        # state: 之前选过的数字集合。
        # isLimit: 表示是否受到选择限制。如果为真，则第 pos 位填入数字最多为 s[pos]；如果为假，则最大可为 9。
        # isNum: 表示 pos 前面的数位是否填了数字。如果为真，则当前位不可跳过；如果为假，则当前位可跳过。
        def dfs(pos, state, isLimit, isNum):
            if pos == len(s):
                # isNum 为 True，则表示当前方案符合要求
                return int(isNum)
            
            ans = 0
            if not isNum:
                # 如果 isNumb 为 False，则可以跳过当前数位
                ans = dfs(pos + 1, state, False, False)
            
            # 如果前一位没有填写数字，则最小可选择数字为 0，否则最少为 1（不能含有前导 0）。
            minX = 0 if isNum else 1
            # 如果受到选择限制，则最大可选择数字为 s[pos]，否则最大可选择数字为 9。
            maxX = int(s[pos]) if isLimit else 9
            
            # 枚举可选择的数字
            for x in range(minX, maxX + 1): 
                # x 不在选择的数字集合中，即之前没有选择过 x
                if (state >> x) & 1 == 0:
                    ans += dfs(pos + 1, state | (1 << x), isLimit and x == maxX, True)
            return ans
    
        return dfs(0, 0, True, False)

思路 1：复杂度分析

时间复杂度：$O(\log n \times 10 \times 2^{10})$，其中 $n$ 为给定整数。
空间复杂度：$O(\log n \times 2^{10})$。

2. 数位 DP 的应用

2.1 至少有 1 位重复的数字

2.1.1 题目链接

1012. 至少有 1 位重复的数字 - 力扣

2.1.2 题目大意

描述：给定一个正整数 $n$。

要求：返回在 $[1, n]$ 范围内具有至少 $1$ 位重复数字的正整数的个数。

说明：

$1 \le n \le 10^9$。

示例：

示例 1：

输入：n = 20
输出：1
解释：具有至少 1 位重复数字的正数（<= 20）只有 11。

示例 2：

输入：n = 100
输出：10
解释：具有至少 1 位重复数字的正数（<= 100）有 11，22，33，44，55，66，77，88，99 和 100。

2.1.3 解题思路

思路 1：动态规划 + 数位 DP

正向求解在 $[1, n]$ 范围内具有至少 $1$ 位重复数字的正整数的个数不太容易，我们可以反向思考，先求解出在 $[1, n]$ 范围内各位数字都不重复的正整数的个数 $ans$，然后 $n - ans$ 就是题目答案。

将 $n$ 转换为字符串 $s$，定义递归函数 def dfs(pos, state, isLimit, isNum): 表示构造第 $pos$ 位及之后所有数位的合法方案数。接下来按照如下步骤进行递归。

从 dfs(0, 0, True, False) 开始递归。 dfs(0, 0, True, False) 表示：
1. 从位置 $0$ 开始构造。
2. 初始没有使用数字（即前一位所选数字集合为 $0$）。
3. 开始时受到数字 $n$ 对应最高位数位的约束。
4. 开始时没有填写数字。
如果遇到 $pos == len(s)$，表示到达数位末尾，此时：
1. 如果 $isNum == True$，说明当前方案符合要求，则返回方案数 $1$。
2. 如果 $isNum == False$，说明当前方案不符合要求，则返回方案数 $0$。
如果 $pos \ne len(s)$，则定义方案数 $ans$，令其等于 $0$，即：$ans = 0$。
如果遇到 $isNum == False$，说明之前位数没有填写数字，当前位可以跳过，这种情况下方案数等于 $pos + 1$ 位置上没有受到 $pos$ 位的约束，并且之前没有填写数字时的方案数，即：ans = dfs(i + 1, state, False, False)。
如果 $isNum == True$，则当前位必须填写一个数字。此时：
1. 根据 $isNum$ 和 $isLimit$ 来决定填当前位数位所能选择的最小数字（$minX$）和所能选择的最大数字（$maxX$），
2. 然后根据 $[minX, maxX]$ 来枚举能够填入的数字 $d$。
3. 如果之前没有选择 $d$，即 $d$ 不在之前选择的数字集合 $state$ 中，则方案数累加上当前位选择 $d$ 之后的方案数，即：ans += dfs(pos + 1, state | (1 << d), isLimit and d == maxX, True)。
  1. state | (1 << d) 表示之前选择的数字集合 $state$ 加上 $d$。
  2. isLimit and d == maxX 表示 $pos + 1$ 位受到之前位限制和 $pos$ 位限制。
  3. $isNum == True$ 表示 $pos$ 位选择了数字。
最后的方案数为 n - dfs(0, 0, True, False)，将其返回即可。

思路 1：代码

class Solution:
    def numDupDigitsAtMostN(self, n: int) -> int:
        # 将 n 转换为字符串 s
        s = str(n)
        
        @cache
        # pos: 第 pos 个数位
        # state: 之前选过的数字集合。
        # isLimit: 表示是否受到选择限制。如果为真，则第 pos 位填入数字最多为 s[pos]；如果为假，则最大可为 9。
        # isNum: 表示 pos 前面的数位是否填了数字。如果为真，则当前位不可跳过；如果为假，则当前位可跳过。
        def dfs(pos, state, isLimit, isNum):
            if pos == len(s):
                # isNum 为 True，则表示当前方案符合要求
                return int(isNum)
            
            ans = 0
            if not isNum:
                # 如果 isNumb 为 False，则可以跳过当前数位
                ans = dfs(pos + 1, state, False, False)
            
            # 如果前一位没有填写数字，则最小可选择数字为 0，否则最少为 1（不能含有前导 0）。
            minX = 0 if isNum else 1
            # 如果受到选择限制，则最大可选择数字为 s[pos]，否则最大可选择数字为 9。
            maxX = int(s[pos]) if isLimit else 9
            
            # 枚举可选择的数字
            for d in range(minX, maxX + 1): 
                # d 不在选择的数字集合中，即之前没有选择过 d
                if (state >> d) & 1 == 0:
                    ans += dfs(pos + 1, state | (1 << d), isLimit and d == maxX, True)
            return ans
    
        return n - dfs(0, 0, True, False)

思路 1：复杂度分析

时间复杂度：$O(\log n \times 10 \times 2^{10})$。
空间复杂度：$O(\log n \times 2^{10})$。

2.2 数字 1 的个数

2.2.1 题目链接

233. 数字 1 的个数 - 力扣

2.2.2 题目大意

描述：给定一个整数 $n$。

要求：计算所有小于等于 $n$ 的非负整数中数字 $1$ 出现的个数。

说明：

$0 \le n \le 10^9$。

示例：

示例 1：

输入：n = 13
输出：6

示例 2：

输入：n = 0
输出：0

2.2.3 解题思路

思路 1：动态规划 + 数位 DP

将 $n$ 转换为字符串 $s$，定义递归函数 def dfs(pos, cnt, isLimit): 表示构造第 $pos$ 位及之后所有数位中数字 $1$ 出现的个数。接下来按照如下步骤进行递归。

从 dfs(0, 0, True) 开始递归。 dfs(0, 0, True) 表示：
1. 从位置 $0$ 开始构造。
2. 初始数字 $1$ 出现的个数为 $0$。
3. 开始时受到数字 $n$ 对应最高位数位的约束。
如果遇到 $pos == len(s)$，表示到达数位末尾，此时：返回数字 $1$ 出现的个数 $cnt$。
如果 $pos \ne len(s)$，则定义方案数 $ans$，令其等于 $0$，即：$ans = 0$。
如果遇到 $isNum == False$，说明之前位数没有填写数字，当前位可以跳过，这种情况下方案数等于 $pos + 1$ 位置上没有受到 $pos$ 位的约束，并且之前没有填写数字时的方案数，即：ans = dfs(i + 1, state, False, False)。
如果 $isNum == True$，则当前位必须填写一个数字。此时：
1. 因为不需要考虑前导 $0$ 所以当前位数位所能选择的最小数字（$minX$）为 $0$。
2. 根据 $isLimit$ 来决定填当前位数位所能选择的最大数字（$maxX$）。
3. 然后根据 $[minX, maxX]$ 来枚举能够填入的数字 $d$。
4. 方案数累加上当前位选择 $d$ 之后的方案数，即：ans += dfs(pos + 1, cnt + (d == 1), isLimit and d == maxX)。
  1. cnt + (d == 1) 表示之前数字 $1$ 出现的个数加上当前位为数字 $1$ 的个数。
  2. isLimit and d == maxX 表示 $pos + 1$ 位受到之前位 $pos$ 位限制。
最后的方案数为 dfs(0, 0, True)，将其返回即可。

思路 1：代码

class Solution:
    def countDigitOne(self, n: int) -> int:
        # 将 n 转换为字符串 s
        s = str(n)
        
        @cache
        # pos: 第 pos 个数位
        # cnt: 之前数字 1 出现的个数。
        # isLimit: 表示是否受到选择限制。如果为真，则第 pos 位填入数字最多为 s[pos]；如果为假，则最大可为 9。
        def dfs(pos, cnt, isLimit):
            if pos == len(s):
                return cnt
            
            ans = 0            
            # 不需要考虑前导 0，则最小可选择数字为 0
            minX = 0
            # 如果受到选择限制，则最大可选择数字为 s[pos]，否则最大可选择数字为 9。
            maxX = int(s[pos]) if isLimit else 9
            
            # 枚举可选择的数字
            for d in range(minX, maxX + 1): 
                ans += dfs(pos + 1, cnt + (d == 1), isLimit and d == maxX)
            return ans
    
        return dfs(0, 0, True)

思路 1：复杂度分析

时间复杂度：$O(\log n)$。
空间复杂度：$O(\log n)$。

参考资料

【文章】AcWing 1081. 度的数量【数位DP基本概念+数位DP记忆化搜索】
【视频】数位 DP 通用模板【力扣周赛 306】LeetCode - 灵茶山艾府

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1. 数位 DP 简介

1.1 数位 DP 简介

1.2 统计特殊整数

1.2.1 题目大意

1.2.2 解题思路

思路 1：动态规划 + 数位 DP

思路 1：代码

思路 1：复杂度分析

2. 数位 DP 的应用

2.1 至少有 1 位重复的数字

2.1.1 题目链接

2.1.2 题目大意

2.1.3 解题思路

思路 1：动态规划 + 数位 DP

思路 1：代码

思路 1：复杂度分析

2.2 数字 1 的个数

2.2.1 题目链接

2.2.2 题目大意

2.2.3 解题思路

思路 1：动态规划 + 数位 DP

思路 1：代码

思路 1：复杂度分析

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1.1 数位 DP 简介

1.2 统计特殊整数

1.2.1 题目大意

1.2.2 解题思路

思路 1：动态规划 + 数位 DP

思路 1：代码

思路 1：复杂度分析

2. 数位 DP 的应用

2.1 至少有 1 位重复的数字

2.1.1 题目链接

2.1.2 题目大意

2.1.3 解题思路

思路 1：动态规划 + 数位 DP

思路 1：代码

思路 1：复杂度分析

2.2 数字 1 的个数

2.2.1 题目链接

2.2.2 题目大意

2.2.3 解题思路

思路 1：动态规划 + 数位 DP

思路 1：代码

思路 1：复杂度分析

参考资料