KMP 算法：全称叫做 「Knuth Morris Pratt 算法」，是由它的三位发明者 Donald Knuth、James H. Morris、 Vaughan Pratt 的名字来命名的。KMP 算法是他们三人在 1977 年联合发表的。
- KMP 算法思想：对于给定文本串
$T$ 与模式串$p$ ，当发现文本串$T$ 的某个字符与模式串$p$ 不匹配的时候，可以利用匹配失败后的信息，尽量减少模式串与文本串的匹配次数，避免文本串位置的回退，以达到快速匹配的目的。
在朴素匹配算法的匹配过程中，我们分别用指针
这样，在 Brute Force 算法中，如果从文本串
那么有没有哪种算法，可以让
如果我们可以通过每一次的失配而得到一些「信息」，并且这些「信息」可以帮助我们跳过那些不可能匹配成功的位置，那么我们就能大大减少模式串与文本串的匹配次数，从而达到快速匹配的目的。
每一次失配所告诉我们的信息是：主串的某一个子串等于模式串的某一个前缀。
这个信息的意思是：如果文本串
但是知道这个信息有什么用呢？
以刚才图中的例子来说，文本串的子串
- 文本串
$T$ 从下标位置$i$ 开始连续的$5$ 个字符，一定与模式串$p$ 的前$5$ 个字符一模一样，即："ABCAB" == "ABCAB"。 - 而模式串的前
$5$ 个字符中，前$2$ 位前缀和后$2$ 位后缀又是相同的，即"AB" == "AB"。
所以根据上面的信息，我们可以推出：文本串子串的后
那么我们就可以将文本串中的
KMP 算法就是使用了这样的思路，对模式串
比如上述示例中模式串 "ABCAB" == "ABCAB"。而根据「部分匹配表」中
上文提到的「部分匹配表」，也叫做「前缀表」，在 KMP 算法中使用
简单而言，就是求：模式串
举个例子来说明一下，以 p = "ABCABCD" 为例。
-
$next[0] = 0$ ，因为"A"中无有相同前缀后缀，最大长度为$0$ 。 -
$next[1] = 0$ ，因为"AB"中无相同前缀后缀，最大长度为$0$ 。 -
$next[2] = 0$ ，因为"ABC"中无相同前缀后缀，最大长度为$0$ 。 -
$next[3] = 1$ ，因为"ABCA"中有相同的前缀后缀"a"，最大长度为$1$ 。 -
$next[4] = 2$ ，因为"ABCAB"中有相同的前缀后缀"AB"，最大长度为$2$ 。 -
$next[5] = 3$ ，因为"ABCABC"中有相同的前缀后缀"ABC"，最大长度为$3$ 。 -
$next[6] = 0$ ，因为"ABCABCD"中无相同前缀后缀，最大长度为$0$ 。
同理也可以计算出 "ABCABDEF" 的前缀表为 "AABAAAB" 的前缀表为 "ABCDABD" 的前缀表为
在之前的例子中，当
但是这样移动的原理是什么？
其实在上文 「1.2 KMP 算法的改进」 中的例子中我们提到过了。现在我们将其延伸总结一下，其实这个过程就是利用了前缀表进行模式串移动的原理，具体推论如下。
如果文本串
- 文本串
$T$ 从下标位置$i$ 开始连续的$j$ 个字符，一定与模式串$p$ 的前$j$ 个字符一模一样，即：$T[i: i + j] == p[0: j]$。 - 而如果模式串
$p$ 的前 $j $ 个字符中，前$k$ 位前缀和后$k$ 位后缀相同，即$p[0: k] == p[j - k: j]$ ，并且要保证$k$ 要尽可能长。
可以推出：文本串子串的后
那么我们就可以将文本串中的
我们可以通过递推的方式构造
- 我们把模式串
$p$ 拆分成$left$ 、$right$ 两部分。$left$ 表示前缀串开始所在的下标位置，$right$ 表示后缀串开始所在的下标位置，起始时$left = 0$ ，$right = 1$。 - 比较一下前缀串和后缀串是否相等。通过比较
$p[left]$ 和$p[right]$ 来进行判断。 - 如果
$p[left] != p[right]$ ，说明当前的前后缀不相同。则让后缀开始位置$k$ 不动，前缀串开始位置$left$ 不断回退到$next[left - 1]$ 位置，直到$p[left] == p[right]$ 为止。 - 如果
$p[left] == p[right]$ ，说明当前的前后缀相同，则可以先让$left += 1$ ，此时$left$ 既是前缀下一次进行比较的下标位置，又是当前最长前后缀的长度。 - 记录下标
$right$ 之前的模式串$p$ 中，最长相等前后缀的长度为$left$ ，即$next[right] = left$ 。
- 根据
$next$ 数组的构造步骤生成「前缀表」$next$。 - 使用两个指针
$i$ 、$j$，其中$i$ 指向文本串中当前匹配的位置，$j$ 指向模式串中当前匹配的位置。初始时，$i = 0$，$j = 0$。 - 循环判断模式串前缀是否匹配成功，如果模式串前缀匹配不成功，将模式串进行回退，即
$j = next[j - 1]$ ，直到$j == 0$ 时或前缀匹配成功时停止回退。 - 如果当前模式串前缀匹配成功，则令模式串向右移动
$1$ 位，即$j += 1$ 。 - 如果当前模式串 完全 匹配成功，则返回模式串
$p$ 在文本串$T$ 中的开始位置，即$i - j + 1$ 。 - 如果还未完全匹配成功，则令文本串向右移动
$1$ 位，即$i += 1$ ，然后继续匹配。 - 如果直到文本串遍历完也未完全匹配成功，则说明匹配失败，返回
$-1$ 。
# 生成 next 数组
# next[j] 表示下标 j 之前的模式串 p 中，最长相等前后缀的长度
def generateNext(p: str):
m = len(p)
next = [0 for _ in range(m)] # 初始化数组元素全部为 0
left = 0 # left 表示前缀串开始所在的下标位置
for right in range(1, m): # right 表示后缀串开始所在的下标位置
while left > 0 and p[left] != p[right]: # 匹配不成功, left 进行回退, left == 0 时停止回退
left = next[left - 1] # left 进行回退操作
if p[left] == p[right]: # 匹配成功，找到相同的前后缀，先让 left += 1，此时 left 为前缀长度
left += 1
next[right] = left # 记录前缀长度，更新 next[right], 结束本次循环, right += 1
return next
# KMP 匹配算法，T 为文本串，p 为模式串
def kmp(T: str, p: str) -> int:
n, m = len(T), len(p)
next = generateNext(p) # 生成 next 数组
j = 0 # j 为模式串中当前匹配的位置
for i in range(n): # i 为文本串中当前匹配的位置
while j > 0 and T[i] != p[j]: # 如果模式串前缀匹配不成功, 将模式串进行回退, j == 0 时停止回退
j = next[j - 1]
if T[i] == p[j]: # 当前模式串前缀匹配成功，令 j += 1，继续匹配
j += 1
if j == m: # 当前模式串完全匹配成功，返回匹配开始位置
return i - j + 1
return -1 # 匹配失败，返回 -1
print(kmp("abbcfdddbddcaddebc", "ABCABCD"))
print(kmp("abbcfdddbddcaddebc", "bcf"))
print(kmp("aaaaa", "bba"))
print(kmp("mississippi", "issi"))
print(kmp("ababbbbaaabbbaaa", "bbbb"))- KMP 算法在构造前缀表阶段的时间复杂度为
$O(m)$ ，其中$m$ 是模式串$p$ 的长度。 - KMP 算法在匹配阶段，是根据前缀表不断调整匹配的位置，文本串的下标
$i$ 并没有进行回退，可以看出匹配阶段的时间复杂度是$O(n)$ ，其中$n$ 是文本串$T$ 的长度。 - 所以 KMP 整个算法的时间复杂度是
$O(n + m)$ ，相对于朴素匹配算法的$O(n \times m)$ 的时间复杂度，KMP 算法的效率有了很大的提升。
- 【书籍】柔性字符串匹配 - 中科院计算所网络信息安全研究组 译
- 【书籍】ACM-ICPC 程序设计系列 - 算法设计与实现 - 陈宇 吴昊 主编
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