diff --git a/rit/_static/custom.css b/rit/_static/custom.css index 359929e..94be608 100644 --- a/rit/_static/custom.css +++ b/rit/_static/custom.css @@ -31,17 +31,13 @@ Síðan er stærðin á myndunum skilgreint inn í tikz skránum. */ margin: 0 !important; } -/* Setja sama style á textann "Kaflayfirlit" eins og er í toctree caption */ -.page-toc.tocsection.onthispage { +/* Setja sama style og er í toctree caption á eftirfarandi fyrirsagnir */ +.page-toc.tocsection.onthispage, +.rubik-social-media-text, +.rubik-sidebar-nav-section-top { font-weight: var(--pst-sidebar-header-font-weight); margin-bottom: .5rem; - } - -/* Setja sama style á "social-media-text" eins og er í toctree caption */ -.social-media-text { - font-weight: var(--pst-sidebar-header-font-weight); - margin-bottom: .5rem; - } +} /* Tryggja icon-links séu left-aligned og byrja á sama stað og logo og annar texti í sidebar */ .navbar-icon-links { @@ -131,8 +127,7 @@ mjx-container[jax="SVG"] use[data-c] { stroke-width: 3px !important; } -/* Fjarlægja "back to top" takkann og "Skip to main content" container-inn sem birtist stundum efst á síðu í Safari */ -#pst-back-to-top, +/* Fjarlægja "Skip to main content" container-inn sem birtist stundum efst á síðu í Safari */ #pst-skip-link { display: none !important; } @@ -141,6 +136,9 @@ mjx-container[jax="SVG"] use[data-c] { :focus-visible { outline: none !important; } +a.nav-link:focus-visible { + box-shadow: none !important; +} .nav-link.nav-internal:focus { color: var(--pst-color-text-muted); } @@ -148,7 +146,6 @@ mjx-container[jax="SVG"] use[data-c] { color: var(--pst-color-link-hover); } - /* Laga þetta vandamál hér: https://github.com/pydata/pydata-sphinx-theme/issues/1855 */ table.indextable.genindextable { border: none !important; @@ -160,14 +157,27 @@ table.indextable.genindextable tr { background-color: inherit !important; } -/* Gera línu fyrir ofan social-media-text */ -.social-media-text { +/* Setja hover lit á toggle takkann í toctree */ +.toctree-toggle:hover { + color: var(--pst-color-link-hover); +} + + + + + +/* Gera línu fyrir ofan rubik-social-media-text -- GERA ÞETTA FREKAR FYRIR NEÐAN OF SAMRÆMA VIÐ AÐRA CONTAINER-A */ +.rubik-social-media-text { padding: .5rem 0; border-top: 1px solid var(--pst-color-border); } + + + + /* Smá lita-test diff --git a/rit/_templates/rubik-icon-links.html b/rit/_templates/rubik-icon-links.html index 4784000..38a0d7c 100644 --- a/rit/_templates/rubik-icon-links.html +++ b/rit/_templates/rubik-icon-links.html @@ -1,6 +1,6 @@ {# Displays icon-links as list items. #}
+class="rubik-social-media-text"> Fylgstu með á samfélagsmiðlum
{%- macro icon_link_nav_item(url, icon, name, type, attributes='') -%} diff --git a/rit/_templates/rubik-sidebar-nav-bs.html b/rit/_templates/rubik-sidebar-nav-bs.html deleted file mode 100644 index 6f32cc2..0000000 --- a/rit/_templates/rubik-sidebar-nav-bs.html +++ /dev/null @@ -1,16 +0,0 @@ -{# Displays the TOC-subtree for pages nested under the currently active top-level TOCtree element. #} - diff --git a/rit/_templates/rubik-sidebar-nav-root-top.html b/rit/_templates/rubik-sidebar-nav-root-top.html new file mode 100644 index 0000000..4f24d49 --- /dev/null +++ b/rit/_templates/rubik-sidebar-nav-root-top.html @@ -0,0 +1,16 @@ +{%- set sidebar_nav_html = generate_toctree_html( + "sidebar", + startdepth=0, + show_nav_level=theme_show_nav_level | int, + maxdepth=theme_navigation_depth | int, + collapse=theme_collapse_navigation | tobool, + includehidden=theme_sidebar_includehidden | tobool, + titles_only=True +) -%} + + diff --git a/rit/_templates/rubik-sidebar-nav-section-top.html b/rit/_templates/rubik-sidebar-nav-section-top.html new file mode 100644 index 0000000..ec654a9 --- /dev/null +++ b/rit/_templates/rubik-sidebar-nav-section-top.html @@ -0,0 +1,20 @@ +{%- set sidebar_nav_html = generate_toctree_html( + "sidebar", + startdepth=0, + show_nav_level=theme_show_nav_level | int, + maxdepth=1, + collapse=theme_collapse_navigation | tobool, + includehidden=theme_sidebar_includehidden | tobool, + titles_only=True +) -%} + + + + + + diff --git a/rit/_templates/rubik-sidebar-nav-section.html b/rit/_templates/rubik-sidebar-nav-section.html new file mode 100644 index 0000000..c742289 --- /dev/null +++ b/rit/_templates/rubik-sidebar-nav-section.html @@ -0,0 +1,15 @@ +{%- set sidebar_nav_html = generate_toctree_html( + "sidebar", + show_nav_level=theme_show_nav_level | int, + maxdepth=theme_navigation_depth | int, + collapse=theme_collapse_navigation | tobool, + includehidden=theme_sidebar_includehidden | tobool, + titles_only=True +) -%} + + diff --git a/rit/conf.py b/rit/conf.py index 20d19dc..1c0f9a8 100644 --- a/rit/conf.py +++ b/rit/conf.py @@ -190,12 +190,13 @@ def update_config_values(app): "image_dark": "_static/rubik-logo-dark.svg", # Logo fyrir dark-mode }, "use_edit_page_button": True, # "Edit on GitHub" takkinn virkjaður - "search_bar_text": "Sláðu inn leitarorð...", # Þegar smellt er á "Leit", þá kemur upp gluggi með þessum texta + "search_bar_text": "Sláðu inn leitarorð...", # Þegar smellt er á "Leit" takkan, þá sést þessi texti í leitarglugga "navbar_align": "content", # "navbar" er left-aligned frá þeim stað sem "content" byrjar - "navigation_depth": 7, - "collapse_navigation": True, - "header_links_before_dropdown": 3, # Ákveða hversu margar síður birtast í header áður en að "More" takkinn kemur í staðinn + "navigation_depth": 5, # Toc dýpt í left sidebar + "show_toc_level": 5, # Toc dýpt í right sidebar + "header_links_before_dropdown": 3, # Hversu margar síður birtast í header áður en að "More" takkinn tekur við "header_dropdown_text": "Meira", # Íslenskur texti fyrir "More" takkann + "back_to_top_button": False, # Fjarlægja "Efst á síðu" takkann # "announcement": "My announcement!", # Tilkynning efst á síðunni # Icon og tenglar inn á samfélagsmiðla @@ -236,7 +237,11 @@ def update_config_values(app): "icon": "fa-brands fa-threads", }, ], - "secondary_sidebar_items": ["rubik-page-toc", "rubik-pdf", "rubik-sourcelink", "rubik-edit-this-page"], + "secondary_sidebar_items": { + "**": ["rubik-page-toc", "rubik-pdf", "rubik-sourcelink", "rubik-edit-this-page"], + "genindex": [], + "search": [], + }, "show_prev_next": False, "article_header_start": [], "footer_end": [], @@ -256,9 +261,10 @@ def update_config_values(app): html_css_files = ['custom.css'] # Slóð á CSS skrár html_static_path = ['_static'] # Slóð á "static" skrár html_sidebars = { - "*/**": ["rubik-sidebar-nav-bs", "rubik-icon-links"], - "genindex": ["sidebar-nav-bs.html", "rubik-icon-links"], - "index": ["sidebar-nav-bs.html", "rubik-icon-links"], + "**": ["rubik-sidebar-nav-section", "rubik-sidebar-nav-section-top", "rubik-icon-links"], + "index": ["rubik-sidebar-nav-root-top", "rubik-icon-links"], + "genindex": ["rubik-sidebar-nav-root-top", "rubik-icon-links"], + "search": ["rubik-sidebar-nav-root-top", "rubik-icon-links"], } html_show_copyright = False # Slökkt á default texta um höfundarrétt í HTML html_show_sphinx = False # Slökkt á "Created using Sphinx" texta í HTML @@ -454,4 +460,4 @@ def add_data_attributes(app, pagename, templatename, context, doctree): def setup(app): # Tengja add_data_attributes fallið við 'html-page-context' atburðinn í Sphinx - app.connect('html-page-context', add_data_attributes) + app.connect('html-page-context', add_data_attributes) \ No newline at end of file diff --git a/rit/eldhusvaskur/admonitions/admonitions-1/index.rst b/rit/eldhusvaskur/admonitions/admonitions-1/index.rst new file mode 100644 index 0000000..7bbe119 --- /dev/null +++ b/rit/eldhusvaskur/admonitions/admonitions-1/index.rst @@ -0,0 +1,29 @@ +Admonitions 1 +============= + +Text below header one + +Header two +---------- + +Text below header two + +Header three +^^^^^^^^^^^^ + +Text below header three + +Header four +~~~~~~~~~~~ + +Text below header four + +Header five +""""""""""" + +Text below header five + +Header six +++++++++++ + +Text below header six \ No newline at end of file diff --git a/rit/eldhusvaskur/admonitions/admonitions-2/index.rst b/rit/eldhusvaskur/admonitions/admonitions-2/index.rst new file mode 100644 index 0000000..fd2ff1f --- /dev/null +++ b/rit/eldhusvaskur/admonitions/admonitions-2/index.rst @@ -0,0 +1,29 @@ +Admonitions 2 +============= + +Text below header one + +Header two +---------- + +Text below header two + +Header three +^^^^^^^^^^^^ + +Text below header three + +Header four +~~~~~~~~~~~ + +Text below header four + +Header five +""""""""""" + +Text below header five + +Header six +++++++++++ + +Text below header six \ No newline at end of file diff --git a/rit/eldhusvaskur/admonitions/admonitions-3/index.rst b/rit/eldhusvaskur/admonitions/admonitions-3/index.rst new file mode 100644 index 0000000..4039570 --- /dev/null +++ b/rit/eldhusvaskur/admonitions/admonitions-3/index.rst @@ -0,0 +1,29 @@ +Admonitions 3 +============= + +Text below header one + +Header two +---------- + +Text below header two + +Header three +^^^^^^^^^^^^ + +Text below header three + +Header four +~~~~~~~~~~~ + +Text below header four + +Header five +""""""""""" + +Text below header five + +Header six +++++++++++ + +Text below header six \ No newline at end of file diff --git a/rit/eldhusvaskur/admonitions/index.rst b/rit/eldhusvaskur/admonitions/index.rst index 0f04fe7..c38fc6b 100644 --- a/rit/eldhusvaskur/admonitions/index.rst +++ b/rit/eldhusvaskur/admonitions/index.rst @@ -1,6 +1,14 @@ Admonitions =========== +.. toctree:: + :caption: Admonitions kaflar + :maxdepth: 6 + + admonitions-1/index + admonitions-2/index + admonitions-3/index + Hér er smá texti fyrir ofan yfirlit fyrirsafna. .. contents:: Yfirlit fyrirsagna í Admonitions @@ -133,4 +141,5 @@ Text below header five Header six ++++++++++ -Text below header six \ No newline at end of file +Text below header six + diff --git a/rit/index.rst b/rit/index.rst index 2d4b43f..4cd1046 100644 --- a/rit/index.rst +++ b/rit/index.rst @@ -109,14 +109,4 @@ Samanber :numref:`kodabalkur`, þá er þetta mjög flottur kóði. fjarmal-einstaklinga/index fjarmal-fyrirtaekja/index eldhusvaskur/index - -.. toctree:: - :numbered: - :maxdepth: 7 - - testing - -.. toctree:: - :maxdepth: 7 - genindex \ No newline at end of file diff --git a/rit/testing.rst b/rit/testing.rst deleted file mode 100644 index 10e05f9..0000000 --- a/rit/testing.rst +++ /dev/null @@ -1,1140 +0,0 @@ -Testing -======= - -.. glossary:: - - orð - :en: word - :de: Wort - :fr: mot - - Þetta er ítarleg lýsing á orðinu „orð“ á íslensku. Það þýðir „word“ á ensku, „Wort“ á þýsku og „mot“ á frönsku. - - bók - :en: book - :de: Buch - :fr: livre - - Bók er hlutur sem inniheldur texta og myndefni til lestrar og fræðslu. Á ensku þýðir það „book“, á þýsku „Buch“ og á frönsku „livre“. - - hús - :en: house - :de: Haus - :fr: maison - - Hús er bygging þar sem fólk býr. Á ensku er það „house“, á þýsku „Haus“ og á frönsku „maison“. - -Og hér er smá umfjöllun um :term:`orð`. - -Since Pythagoras, we know that :math:`1+2=9`. - - asdf asdafaasdfsdf asdf asdf asdf - -:math:`\underline{x}=[ x_{1}, ..., x_{n}]^{T}` - -Setjum :math:`b_y=-6b_x` inn og fáum: - -.. math:: - 9 = \sqrt{b_x^2+b_y^2} - -Dæmi -~~~~ - -.. admonition:: Dæmi - :class: daemi - - Fallið :math:`f(x) = \sqrt{x}`, :math:`f:[0,\infty[\to {{\mathbb R}}` - er diffranlegt á menginu :math:`]0,\infty[` og afleiðan er gefin með - :math:`f'(x) = \frac 1{2\sqrt{x}} = \frac 12 x^{-1/2}` þar. Hins vegar - er :math:`f` ekki diffranlegt í :math:`x=0` þrátt fyrir að fallgildið sé - vel skilgreint (og fallið samfellt frá hægri) þar. - - Ef :math:`x>0` þá fæst - - .. math:: - - \begin{aligned} - \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}h &= - \lim_{h\to 0} \frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\ - &= \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{x+h}^2-\sqrt{x}^2}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\ - &= \lim_{h\to 0} \frac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\ - &= \lim_{h\to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}},\end{aligned} - - sem segir okkur að :math:`f'(x) = \frac 12 x^{-1/2}`. - - Í vinstri endapunkti skilgreingarsvæðisins, :math:`x=0`, þá fæst hins - vegar - - .. math:: - - \begin{aligned} - \lim_{h\to 0^+} \frac{\sqrt{h}-\sqrt{0}}h &= - \lim_{h\to 0^+} \frac{\sqrt{h}}h\\ - &= \lim_{h\to 0^+} \frac{1}{\sqrt{h}} = \infty,\end{aligned} - - sem sýnir að fallið er ekki diffranlegt frá hægri í :math:`x=0`. - -Reiknireglur ------------- - -Setning -~~~~~~~ - -.. admonition:: Setning - :class: setning - - Látum :math:`f` og :math:`g` vera föll sem eru diffranleg í punkti - :math:`x`. Þá eru föllin :math:`f+g,\ f-g, kf` (þar sem :math:`k` er - fasti) og :math:`fg` diffranleg í punktinum :math:`x`, og ef - :math:`g(x)\neq 0` þá eru föllin :math:`1/g` og :math:`f/g` líka - diffranleg í :math:`x`. - - Eftirfarandi formúlur gilda um afleiður fallanna sem talin eru upp hér - að framan: - - (i) :math:`(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)` - (ii) :math:`(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)` - (iii) :math:`(kf)'(x)=kf'(x)`, þar sem :math:`k` er fasti - (iv) :math:`(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)` - (v) :math:`\displaystyle\Bigg(\frac{1}{g}\Bigg)'(x)=\frac{-g'(x)}{g(x)^2}`, - ef :math:`g(x)\neq 0` - (vi) :math:`\displaystyle\Bigg(\frac{f}{g}\Bigg)'(x)= - \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}`, ef :math:`g(x)\neq 0` - -Nokkrar afleiður -~~~~~~~~~~~~~~~~ - -(i) :math:`\frac{d}{dx} c = \lim_{h\to 0} \frac{c-c}h = 0` - -(ii) :math:`\frac{d}{dx} x = \lim_{h\to 0} \frac{x+h-x}h = 1` - -(iii) :math:`\frac{d}{dx} x^2 = \lim_{h\to 0} \frac{x^2+2xh+h^2-x^2}h - = \lim_{h\to 0} \frac{2xh + h^2}h = \lim_{h\to 0} 2x+h= 2x` - -Setning -~~~~~~~ - -.. admonition:: Setning - :class: setning - - .. math:: \frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1} - -.. admonition:: Sönnun - :class: setning, dropdown - - Sýnum þetta með þrepun.Tilfellið :math:`n=1` er afgreitt hér að ofan - (3.3.2 (2) Setning 3.3.2). - Gerum ráð fyrir að niðurstaðan gildi fyrir :math:`n` og sýnum að þá - gildi hún einnig fyrir :math:`n+1`, - - .. math:: - - \frac{d}{dx} x^{n+1} = \frac{d}{dx} (x\cdot x^n) = - \left(\frac{d}{dx} x\right) x^n + x\frac{d}{dx} x^n - = x^n + x\, - \underbrace{n\, x^{n-1}}_\text{þ.f.} - = (n+1) x^n. - -Afleiður margliða -~~~~~~~~~~~~~~~~~ - -Með því að nota setningarnar að ofan þá eigum við ekki í neinum -vandræðum með að diffra margliður. Setning 3.3.1 (i) segir -að við getum diffrað hvern lið fyrir sig, liður (iii) í sömu setningu -segir að við getum tekið fastana fram fyrir afleiðuna og loks segir -Setning 3.3.3 hvernig við diffrum :math:`x^n`. - -Dæmi: Afleiða margliðu -~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ - -.. admonition:: Dæmi - :class: daemi - - Finnum afleiðu margliðunnar :math:`p(x) = 4x^3-2x + 5`. Nú er - - .. math:: - - \begin{aligned} - \frac{d}{dx} p(x) - &= \frac{d}{dx}4x^3 - \frac{d}{dx}2x + \frac{d}{dx}5 \\ - &= 4\frac{d}{dx}x^3 -2\frac{d}{dx}x + \frac{d}{dx}5 = - 4\cdot 3x^2 -2\cdot 1 + 0 = 12x^2-2\end{aligned} - -Setning: Keðjureglan -~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ - -.. admonition:: Keðjureglan - :class: setning - - Gerum ráð fyrir að :math:`f` og :math:`g` séu föll þannig að :math:`g` - er diffranlegt í :math:`x` og :math:`f` er diffranlegt í :math:`g(x)`. - Þá er samskeytingin :math:`f\circ g` diffranleg í :math:`x` og - - .. math:: (f\circ g)'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x). - -Dæmi -~~~~ - -.. admonition:: Dæmi - :class: daemi - - Skoðum föllin :math:`f(x) = \sqrt x` og :math:`g(x) = 3x^5`. Bæði þessi föll eru - diffranleg og afleiðurnar eru :math:`f'(x) = \frac 12 x^{-1/2}` og - :math:`g'(x) = 15x^4`. Afleiða samskeytingarinnar :math:`f\circ g` er þá - samkvæmt keðjureglunni - - .. math:: - (f\circ g)'(x) = \frac 12 (3x^5)^{-1/2} \cdot 15x^4. - --------- - - -Hærri afleiður --------------- - -Skilgreining -~~~~~~~~~~~~ - -.. admonition:: Skilgreining - :class: skilgreining - - Látum :math:`f` vera fall. *Afleiðan* :math:`f'` er fall sem skilgreint er - í öllum punktum þar sem :math:`f` er diffranlegt. - - Ef fallið :math:`f'` er diffranlegt í punkti :math:`x` þá er afleiða - :math:`f'` í punktinum :math:`x` táknuð með :math:`f''(x)` og kölluð - önnur afleiða (e. second derivative) :math:`f` í punktinum :math:`x`. Líta má á aðra afleiðu - :math:`f` sem fall :math:`f''` sem er skilgreint í öllum punktum þar sem - :math:`f'` er diffranlegt. - - Almennt má skilgreina :math:`n`\ *-tu afleiðu* :math:`f`, táknaða með - :math:`f^{(n)}`, þannig að í þeim punktum :math:`x` þar sem fallið - :math:`f^{(n-1)}` er diffranlegt þá er - :math:`f^{(n)}(x)=\frac{d}{dx}f^{(n-1)}(x)`. - -Dæmi -~~~~ - -.. admonition:: Dæmi - :class: daemi - - Ef :math:`f(x) = 3x^2`, þá er - - .. math:: f'(x) = 3\frac{d}{dx}x^2 = 3\cdot 2x = 6x - - og - - .. math:: f''(x) = \frac{d}{dx} 6x = 6. - -Ritháttur -~~~~~~~~~ - -Ritum :math:`y=f(x)`. - -Þá má tákna fyrstu afleiðu :math:`f` með - -.. math:: y'= f'(x)=\frac{d}{dx}f(x)=D_xf(x)\ =\ D_x y= \frac{dy}{dx}, - -aðra afleiðuna með - -.. math:: - - \begin{aligned} - y'' &= - f''(x)=\frac{d}{dx}f'(x)=\frac{d}{dx}\frac{d}{dx}f(x) - = D^2_xf(x)= D^2_x y=\frac{d^2}{dx^2}f(x)=\frac{d^2 y}{dx^2}\end{aligned} - -og almennt :math:`n`-tu afleiðuna - -.. math:: - - \begin{aligned} - y^{(n)} &= f^{(n)}(x)=\frac{d}{dx}f^{(n-1)}(x)= - \frac{d}{dx}\Big(\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}f(x)\Big) \\ - &=D^n_xf(x)\ =\ D^n_x y - =\frac{d^n}{dx^n}f(x) - = \frac{d^n y}{dx^n}.\end{aligned} - -.. admonition:: Athugasemd - :class: athugasemd - - Venja er að rita :math:`f'''` til að tákna þriðju afleiðu :math:`f` en - afar sjaldgæft að :math:`f''''` sé notað til að tákna fjórðu afleiðu - :math:`f` og mun algengara að nota :math:`f^{(4)}`. - ------- - -Útgildi -------- - -Skilgreining: Útgildi -~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ - -.. admonition:: Skilgreining - :class: skilgreining - - Við segjum að fall :math:`f` hafi staðbundið hágildi í punktinum - :math:`x_0` ef til er bil :math:`(a,b)` umhverfis :math:`x_0`, sem er - þannig að - - .. math:: f(x) \leq f(x_0), \quad \text{ fyrir öll } x \in (a,b). - - Við segjum að fall :math:`f` hafi staðbundið lággildi í punktinum - :math:`x_0` ef til er bil :math:`(a,b)` umhverfis :math:`x_0`, sem er - þannig að - - .. math:: f(x) \geq f(x_0), \quad \text{ fyrir öll } x \in (a,b). - - Tölum um að fallið :math:`f` hafi staðbundið útgildi í punktinum - :math:`x_0` ef það hefur staðbundið hágildi eða staðbundið lággildi þar. - -Setning -~~~~~~~ - -.. admonition:: Setning - :class: setning - - Ef fallið :math:`f` hefur staðbundið útgildi í punktinum :math:`x_0` og - er diffranlegt þá er :math:`f'(x_0)=0`. - -.. admonition:: Sönnun - :class: setning, dropdown - - Gerum ráð fyrir að :math:`f` hafi staðbundið hágildi í punktinum :math:`x_0`. - Þá er :math:`f(x_0)-f(x)\geq 0` og ef :math:`xg(a)` - (tilfellið ef :math:`g(x) g(a) = g(b)` þá getur :math:`c` hvorki verið - :math:`a` né :math:`b`. - Þar sem :math:`c` - er útgildi þá segir Setning 3.5.2 að :math:`g'(c)=0`. - -Meðalgildissetningin -~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ - -.. admonition:: Meðalgildissetningin - :class: setning - - Látum :math:`f:[a,b]\rightarrow{{\mathbb R}}` vera samfellt fall. Gerum - ráð fyrir að :math:`f` sé diffranlegt í öllum punktum í bilinu - :math:`(a,b)`. Þá er til punktur :math:`c` í bilinu :math:`(a,b)` þannig - að - - .. math:: \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c). - -.. admonition:: Sönnun - :class: setning, dropdown - - Skilgreinum nýtt fall - - .. math:: h(x)=f(x)-\left(f(a)+ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\right). - - Athugið að :math:`h` er bara :math:`f` mínus línufallið gegnum punktana - :math:`(a,f(a))` og :math:`(b,f(b))`. Þetta þýðir að :math:`h` er diffranlegt - og að :math:`h(a)=h(b)=0`. Þá gefur Setning Rolle að til er :math:`c` þannig að - :math:`h'(c)=0`. - - Nú er - - .. math:: - h'(x) = f'(x) - \left(0+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(1-0)\right) - = f'(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} - - þannig að - - .. math:: 0 = h'(c) = f'(c) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}, - - eða - - .. math:: f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}. - -.. admonition:: Athugasemd - :class: athugasemd - - Niðurstöðuna úr meðalgildissetningunni má orða svona: - - Í einhverjum punkti á bilinu er stundarbreytingin jöfn meðalbreytingunni - yfir allt bilið. - -Alhæfða meðalgildissetningin -~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ - -.. admonition:: Setning - :class: setning - - Gerum ráð fyrir að föllin :math:`f` og :math:`g` séu samfelld á lokaða - bilinu :math:`[a,b]` og diffranleg á opna bilinu :math:`(a,b)`. Gerum - auk þess ráð fyrir að fyrir allar tölur :math:`x` í :math:`(a,b)` sé - :math:`g'(x)\neq 0`. Þá er til tala :math:`c\in (a,b)` þannig að - - .. math:: \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}. - ----------- - -Vaxandi og minnkandi föll -------------------------- - -Skilgreining: Vaxandi/minnkandi -~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ - -.. admonition:: Skilgreining - :class: skilgreining - - Fall :math:`f` er *vaxandi* á bili :math:`(a,b)` ef um - alla punkta :math:`x_1` og :math:`x_2` á :math:`(a,b)` þannig að - :math:`x_1 < x_2` gildir að - - .. math:: f(x_1) \leq f(x_2). - - Fall :math:`f` er *stranglega vaxandi* á bili :math:`(a,b)` - ef um alla punkta :math:`x_1` og :math:`x_2` á :math:`(a,b)` þannig að - :math:`x_1 < x_2` gildir að - - .. math:: f(x_1) < f(x_2). - - Fall :math:`f` er *minnkandi* á bili :math:`(a,b)` ef um - alla punkta :math:`x_1` og :math:`x_2` á :math:`(a,b)` þannig að - :math:`x_1 < x_2` gildir að - - .. math:: f(x_1) \geq f(x_2). - - Fall :math:`f` er *stranglega minnkandi* á bili - :math:`(a,b)` ef um alla punkta :math:`x_1` og :math:`x_2` á - :math:`(a,b)` þannig að :math:`x_1 < x_2` gildir að - - .. math:: f(x_1) > f(x_2). - -.. admonition:: Athugasemd - :class: athugasemd - - Kennslubókin notar *nondecreasing/nonincreasing* fyrir vaxandi/minnkandi og - *increasing/decreasing* fyrir stranglega vaxandi/minnkandi. - - Einnig þekkist að nota *increasing/decreasing* og *strictly increasing/decreasing*. - Til dæmis er það gert á `Wikipedia: Monotonic functions `_. - -Setning -~~~~~~~ - -.. admonition:: Setning - :class: setning - - Látum :math:`f` vera diffranlegt fall á bili. Þá er :math:`f` vaxandi þá og því - aðeins að :math:`f' \geq 0`. - -.. admonition:: Sönnun - :class: setning, dropdown - - Byrjum á að gera ráð fyrir að fallið sé vaxandi. Festum punkt :math:`x` og - sýnum að :math:`f'(x)\geq 0`. Þar sem :math:`f` er vaxandi þá gildir fyrir - sérhvert :math:`h>0` að - - .. math:: - \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \geq 0 - - Þá gildir einnig um markgildið :math:`\lim_{h\to 0^+} \frac{f(x+h)-f(x)}h \geq 0`. - - Ef hins vegar :math:`h<0` þá er :math:`x+h < x` og því - :math:`f(x+h) f(x_2)`, það er - :math:`f(x_2)-f(x_1)<0` - þá er - - .. math:: - \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} < 0. - - Samkvæmt meðalgildissetningunni þá er til punktur á bilinu :math:`[x_1,x_2]` - þar sem afleiðan tekur þetta gildi, en það er í mótsögn við að :math:`f'(c)\geq 0`. - - -Setning -~~~~~~~ - -.. admonition:: Setning - :class: setning - - Látum :math:`f` vera diffranlegt fall á bili. Þá er :math:`f` minnkandi þá og - því aðeins að :math:`f' \leq 0`. - -Setning -~~~~~~~ - -.. admonition:: Setning - :class: setning - - Látum :math:`f` vera diffranlegt fall á bili. Ef :math:`f'>0` þá er :math:`f` - stranglega vaxandi. - -Setning -~~~~~~~ - -.. admonition:: Setning - :class: setning - - Látum :math:`f` vera diffranlegt fall á bili. Ef :math:`f'<0` þá er :math:`f` - stranglega minnkandi. - -.. admonition:: Aðvörun - :class: advorun - - Diffranlegt fall getur verið stranglega vaxandi/minnkandi án þess að - afleiðan sé alls staðar stærri/minni en 0. Til dæmis er afleiða :math:`f(x)=x^3` jöfn 0 í - :math:`x=0` en fallið er stranglega vaxandi á öllum rauntalnaásnum. - -Afleiður fastafalla -~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ - -Við vitum að ef :math:`f` er fasti, það er :math:`f(x)=c`, þá er -:math:`f'(x)=0` fyrir öll :math:`x`. - -Nú fáum við einnig eftirfarandi út frá Setningum 3.8.2 og 3.8.3: - -Ef :math:`f` er diffranlegt fall á bili :math:`I` sem er þannig að -:math:`f'(x) = 0` á :math:`I`, þá er :math:`f` fasti, -þ.e. \ :math:`f(x) = c` fyrir öll :math:`x\in I`. - -Innsetning -~~~~~~~~~~ - -Ef við viljum reikna :math:`\int f(g(x))g'(x)\, dx` þá dugar okkur að -geta fundið :math:`\int f(x)\, dx`. - -Notkun á innsetningu -~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ - -Setjum :math:`u=g(x)`. Þá er - -.. math:: \frac{du}{dx}=g'(x)\qquad \text{eða} \qquad du=g'(x)\,dx. - -Svo - -.. math:: - - \underbrace{\int f(g(x))g'(x)\,dx}_{\text{Viljum finna}} = - \int f(u)\,du - = - \underbrace{F(u)+C}_{\text{Getum reiknað}} = - \underbrace{F(g(x))+C}_{\text{Svarið}}. - -.. admonition:: Aðvörun - :class: advorun - - Ef við breytum heildi með tilliti til :math:`x` í heildi með tilliti til - annarar breytistærðar :math:`u` þá verða **öll** :math:`x` að hverfa úr - heildinu við breytinguna. - -Notkun á innsetningu með mörkum -~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ - -Með mörkum þá verður innsetningin svona - -.. math:: - - \begin{aligned} - \int_a^b f(g(x))g'(x)\, dx &=& - \int_{x=a}^{x=b} f(u)\, du = - [F(u)]_{x=a}^{x=b} \\ &=& - [F(g(x))]_{x=a}^{x=b} = - F(g(b)) - F(g(a)).\end{aligned} - -Ef :math:`A=g(a)` og :math:`B=g(b)` þá getum við eins skrifað þetta -svona - -.. math:: - - \begin{aligned} - \int_a^b f(g(x))g'(x)\, dx &=& - \int_{x=a}^{x=b} f(u)\, du = - \int_{A}^{B} f(u)\, du \\ &=& - [F(u)]_A^B = - F(B) - F(A).\end{aligned} - -Öfug innsetning -~~~~~~~~~~~~~~~ - -Reiknum :math:`\int f(x)\, dx`, með því að finna hugsanlega flóknara -heildi sem við getum reiknað - -.. math:: - \int f(g(u))g'(u)\, du. - -.. admonition:: Aðvörun - :class: advorun - - Athugið að hér þurfum við að finna heppilegt :math:`g`. Það - er ekki alltaf augljóst hvaða :math:`g` er hægt að nota. - -Notkun á öfugri innsetningu -~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ - -Setjum :math:`x=g(u)`. Þá er - -.. math:: \frac{dx}{du}=g'(u)\qquad\quad dx=g'(u)\,du. - -Sem gefur að - -.. math:: - - \underbrace{\int f(x)\,dx}_{\text{Viljum finna}} = - \int f(g(u))g'(u)\,du - = - \underbrace{F(u) + C}_{\text{Getum reiknað}} - = \underbrace{F(g^{-1}(x)) + C}_{\text{Svarið}}. - -Öfug innsetning með mörkum -~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ - -Við öfuga innsetningu þarf að passa að breyta mörkunum. Það er - -.. math:: - - \begin{aligned} - \int_a^b f(x)\,dx &= \int_{x=a}^{x=b} f(g(u))g'(u)\,du \\ - &= [F(u)]_{x=a}^{x=b} = [F(g^{-1}(x))]_a^b = F(g^{-1}(b)) - F(g^{-1}(a)).\end{aligned} - -Eða ef :math:`a=g(A)` og :math:`b=g(B)` (það er :math:`g^{-1}(a) = A` og -:math:`g^{-1}(b) = B`), - -.. math:: \int_a^b f(x)\,dx = \int_A^B f(g(u))g'(u)\,du= [F(u)]_A^B = F(B) - F(A). - -Hlutheildun -~~~~~~~~~~~ - -Munum að ef :math:`u` og :math:`v` eru föll þá er -:math:`(u\cdot v)' = u'\cdot v + u \cdot v'`. - -Notum Undirstöðusetningu stærðfræðigreiningarinnar og heildum beggja -vegna jafnaðarmerkisins, þá fæst - -.. math:: u(x)v(x) = \int (u(x)v(x))'\, dx = \int u'(x)v(x)\, dx + \int u(x)v'(x)\, dx. - -Það er - -.. math:: \int u'(x)v(x)\, dx = u(x)v(x) - \int u(x)v'(x)\, dx. - -Hlutheildun með mörkum -~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ - -Eða með mörkum - -.. math:: \int_a^b u'(x)v(x)\, dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x)\, dx. - -(Athugið að þá verða engin :math:`x` í svarinu.) - -Stofnbrotaliðun -~~~~~~~~~~~~~~~ - - -Ef við viljum heilda rætt fall :math:`\frac{P(x)}{Q(x)}` þar sem :math:`P(x)` -og :math:`Q(x)` eru margliður, getur það reynst þrautinni þyngra, séu margliðurnar -nægilega flóknar. Stofnbrotaliðun gengur út á það að skrifa ræða fallið -:math:`\frac{P(x)}{Q(x)}` sem línulega samantekt liða á forminu - -.. math:: \frac{1}{ax+b}, \quad \frac{x}{x^2+bx+c} \quad\text{ og }\quad \frac{1}{x^2+bx+c}, - -(það er við liðum fallið í stofnbrot sín) því svona liði getum við heildað hvern fyrir sig. - -Erfitt er að setja aðferðina **stofnbrotaliðun** fram með einföldum hætti -og er það líkast til best gert með dæmum. Lítum á nokkrar mismunandi útfærslur -af því hvernig hægt er að liða rætt fall í stofnbrot. - -Athugum að margliða :math:`p(x)` er sögð af stigi :math:`n \in \mathbb{N}` ef hana má rita á forminu - -.. math:: a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1}+ \dots + a_1 x + a_0. - -Ef hana má þátta í - -.. math:: p(x) = (x-a_1)(x-a_2) \cdot \dots \cdot (x-a_q) - -er hún sögð hafa einfaldar núllstöðvar ef um sérhverja núllstöð hennar :math:`a_i` og :math:`a_j` gildir -að :math:`a_i \neq a_j` fyrir öll :math:`i \neq j`. Ef, á hinn bóginn, til eru tvær eða fleiri núllstöðvar sem uppfylla að -:math:`a_i = a_j` þar sem :math:`i \neq j` þá eru þær kallaðar margfaldar núllstöðvar. - -Sem dæmi má taka að margliðuna :math:`p(x)=x^2-2x+1` má þátta með samokareglunni í :math:`p(x)=(x-1)(x-1)` -og hefur hún því eina, tvöfalda núllstöð í :math:`x=1`. Hins vegar má þátta margliðuna :math:`q(x)=x^2+5x+6` -í :math:`q(x)=(x+2)(x+3)` og hefur hún því tvær einfaldar núllstöðvar, :math:`x=-2` og :math:`x=-3`. - -Dæmi 1 um stofnbrotaliðun -~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ - -Í þessu dæmi er teljarinn er af stigi :math:`m` og nefnarinn af stigi :math:`n>m` með :math:`n` einfaldar núllstöðvar. - -.. admonition:: Dæmi - :class: daemi - - Liðið :math:`\frac{x+4}{x^2-5x+6}` í stofnbrot. - -.. admonition:: Lausn - :class: daemi, dropdown - - Sjá má að teljarinn er margliða af fyrsta stigi - en nefnarinn margliða af öðru stigi. Jafnframt má þátta nefnarann í :math:`(x-2)(x-3)` - sem segir okkur að nefnarinn hefur tvær einfaldar núllstöðvar í :math:`x=2` og :math:`x=3`. - Þá gildir að - - .. math:: \frac{x+4}{x^2-5x+6} = \frac{x+4}{(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}, - - þar sem sem :math:`A` og :math:`B` eru einhverjar rauntölur. Tökum sérstaklega eftir því - að fjöldi liða í stofnbrotaliðuninni er jafn stigi nefnarans. Ef :math:`P(x)` er margliða - af stigi :math:`m` og :math:`Q(x)` er margliða af stigi stigi :math:`n>m` sem hefur - :math:`n` mismunandi (raungildar) núllstöðvar, sem og að stuðullinn fyrir framan - :math:`x^n` er :math:`1`, þá gildir almennt fyrir ræða fallið :math:`\frac{P(x)}{Q(x)}` að - stofnbrotaliðun þess verður - - .. math:: \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A_1}{x-a_1}+\frac{A_2}{x-a_2}+\dots +\frac{A_n}{x-a_n}. - - Ákvörðum nú gildi fastanna :math:`A` og :math:`B`. Samnefnum brotin í hægri - hlið jöfnunnar - - .. math:: \frac{x+4}{x^2-5x+6} = \frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3} = \frac{Ax-3A+Bx-2B}{(x-2)(x-3)}. - - Með því að bera saman teljara brotanna, sem staðsett eru sitt hvoru megin jafnaðarmerkisins, - sjáum við að - - .. math:: x+4 = Ax-3A+Bx-2B. - - Athugum að til þess að þetta sé jafngilt verður að gilda að :math:`Ax+Bx = x` og :math:`-3A-2B=4`. - Með því að deila í gegnum fyrri jöfnuna með :math:`x` fæst jöfnuhneppið - - .. math:: - \begin{aligned} - A+B&=1\\ - -3A-2B&=4\\ - \end{aligned} - - sem hefur lausnina :math:`A=-6` og :math:`B=7`. Af þessu sést að - - .. math:: \frac{x+4}{x^2-5x+6} = -\frac{6}{x-2}+\frac{7}{x-3}. - -Dæmi 2 um stofnbrotaliðun -~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ - -Í þessu dæmi eru teljarinn og nefnarinn af stigi :math:`n` og nefnarinn með :math:`n` einfaldar núllstöðvar. - -.. admonition:: Dæmi - :class: daemi - - Liðið :math:`\frac{x^3+2}{x^3-x}` í stofnbrot. - -.. admonition:: Lausn - :class: daemi, dropdown - - Sjá má að bæði teljari og nefnari eru margliður - af þriðja stigi. Athugum að með því að bæta núlllið á forminu :math:`+x-x` við teljarann fæst - - - .. math:: \frac{x^3-x+x+2}{x^3-x} = \frac{x^3-x}{x^3-x} + \frac{x+2}{x^3-x} = 1 + \frac{x+2}{x^3-x}. - - Fastann 1 þarf ekki að liða frekar. Þar sem að brotið :math:`\frac{x+2}{x^3-x}` hefur teljara af - lægra stigi en nefnarinn (tveimur lægra nánar til tekið) sem og að nefnarinn hefur þrjár, einfaldar núllstöðvar, - getum við stofbrotaliðað það með eftirfarandi hætti. - - .. math:: \frac{x+2}{x^3-x} = \frac{x+2}{x(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1} = \frac{A(x^2-1)+B(x^2+x)+C(x^2-x)}{x(x-1)(x+1)} - - þar sem síðasti liður jöfnunnar fæst með því að samnefna brot þess næstseinasta. - Með því að bera saman teljara fyrsta og síðasta liðs jöfnunnar sést að - - .. math:: x+2 = A(x^2-1) + B(x^2+x)+C(x^2-x). - - Ef við margföldum upp úr svigum og drögum saman líka liði fæst að - - .. math:: x+2 = (A+B+C)x^2 +(B-C)x - A. - - Þetta gefur okkur jöfnuhneppið - - .. math:: - \begin{aligned} - A+B+C &= 0\\ - B-C &=1\\ - -A &= 2\\ - \end{aligned} - - sem hefur lausnina :math:`A=-2`, :math:`B=\frac{3}{2}` og :math:`C=\frac{1}{2}`. - Af þessu sést að - - .. math:: \frac{x^3+2}{x^3-x} = 1 - \frac{2}{x}+\frac{3}{2(x-1)}+\frac{1}{2(x-1)}. - -Dæmi 3 um stofnbrotaliðun -~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ - -Í þessu dæmi er teljarinn af stigi :math:`m` og nefnarinn af stigi :math:`n>m` stigi með :math:`rm` stigi með :math:`n` núllstöðvar, þar af einhverjar fjölfaldar. - -.. admonition:: Dæmi - :class: daemi - - Liðið :math:`\frac{1}{x(x-1)^2}` í stofnbrot. - -.. admonition:: Lausn - :class: daemi, dropdown - - Ljóst er að teljari er af hærra stigi - en nefnarinn og nefnarinn hefur einfalda núllstöð í :math:`x=0` og tvöfalda - núllstöð í :math:`x=1`. Þá má liða fallið í stofnbrot með eftirfarandi hætti. - - .. math:: \frac{1}{x(x-1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2}. - - Tökum sérstaklega eftir því að núllstöðin :math:`x=1` er tvöföld og því inniheldur - stofnbrotaliðunin tvo liði með þáttinn :math:`(x-1)` í nefnara, - annars vegar í fyrsta veldi og hins vegar í öðru veldi. Almennt gildir, fyrir - sérhverja :math:`r`-falda núllstöð :math:`a` nefnara ræða fallsins - :math:`\frac{P(x)}{Q(x)}`, að stofnbrotaliðun fallsins mun innihalda - - .. math:: \frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+\dots + \frac{A_r}{(x-a)^r} - - Með því að samnefna fáum við að - - .. math:: \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2} = \frac{A(x^2-2x+1)+B(x^2-x)+Cx}{x(x-1)^2}. - - Með sambærilegum hætti og áður fæst að - - .. math:: 1 = A(x^2-2x+1)+B(x^2-x)+Cx - - og með því að leysa upp úr svigum og draga saman líka liði fæst - - .. math:: 1 = (A+B) x^2 + (-2A-B+C)x + A. - - Því fæst loks jöfnuhneppið - - .. math:: - \begin{aligned} - A+B &= 0\\ - -2A-B+C &=0\\ - A &= 1\\ - \end{aligned} - - sem hefur lausnina :math:`A=1`, :math:`B=-1` og :math:`C=1`. Af þessu sést að - - .. math:: \frac{1}{x(x-1)^2} = \frac{1}{x}-\frac{1}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2} - -Dæmi 5 um stofnbrotaliðun -~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ - -Í þessu dæmi er teljarinn af stigi :math:`m` og nefnarinn af stigi :math:`n>m` stigi með :math:`r1`. - -.. admonition:: Dæmi - :class: daemi - - Liðið í :math:`\frac{x^2+2}{4x^5+4x^3+x}` stofnbrot. - -.. admonition:: Lausn - :class: daemi, dropdown - - Hér er stig nefnara hærra en stig teljara - og má þátta hann í :math:`x(2x^2+1)^2`. Nú er margliðan :math:`2x^2+1` núllstöðvalaus. - Því má stofnbrotaliða fallið á eftirfarandi vegu. - - .. math:: \frac{x^2+2}{4x^5+4x^3+x} = \frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{2x^2+1}+\frac{Dx+E}{(2x^2+1)^2} - - Líkt og áður skulum við veita því sérstakan gaum að þátturinn :math:`(2x^2+1)^2` - er í öðru veldi og því hefur stofnbrotaliðunin tvo liði þar sem nefnarinn inniheldur - margliðuna :math:`2x^2+1`, annars vegar í fyrsta veldi og svo hins vegar í öðru - veldi. Sama almenna regla og áður gildir, ef nefnari fallsins inniheldur núllstöðvalausa - margliðu :math:`p(x)^n` í nefnara, þar sem :math:`n` er einhver náttúruleg tala, - þá mun stofnbrotaliðun fallsins innihalda liðina - - .. math:: \frac{A_k}{p(x)^k}, \qquad k=1,2,\dots,n. - - Ef við samnefnum brotin í hægri hlið jöfnunnar fæst - - .. math:: \frac{x^2+2}{4x^5+4x^3+x} = \frac{A(4x^4+4x^2+1)+B(2x^4+x^2)+C(2x^3+x)+Dx^2+Ex}{x(2x^2+1)^2}. - - Við getum nú borið saman teljarana og með því að leysa upp úr svigum og draga saman - líka liði fæst - - .. math:: x^2+2 = (4A+2B)x^4 + 2Cx^3 + (4A+2B+D)x^2 + (C+E)x+A. - - Því fæst loks jöfnuhneppið - - .. math:: - \begin{aligned} - 4A+2B &= 0\\ - 2C &=0\\ - 4A+B+D &= 1\\ - C+E &= 0\\ - A &= 2\\ - \end{aligned} - - sem hefur lausnina :math:`A=2`, :math:`B=-4`, :math:`C=0`, :math:`D=-3` og :math:`E=0`. - Af þessu sést að - - .. math:: \frac{x^2+2}{4x^5+4x^3+x} = \frac{2}{x}-\frac{4x}{2x^2+1}-\frac{3x}{(2x^2+1)^2}. - -Samantekt -~~~~~~~~~ - -Líkt og áður segir þá er stofnbrotaliðun notuð fyrir ræð föll sem erfitt getur -reynst að heilda í sínu upprunalega formi. Við stofnbrotaliðun er fallið liðað -í summu minni þátta og má þá heilda hvern þátt fyrir sig og leysa dæmið þannig -í fleiri en einfaldari skrefum. - -Nánar er fjallað um stofnbrotaliðun í kafla 6.2 í kennslubókinni. - -Sjá einnig `wikipedia síðuna um stofnbrotaliðun `__. -Þar má t.a.m. sjá allar aðferðirnar, úr dæmunum hér að ofan, notaðar í einu og sama dæminu. - ------------ - -Óeiginleg heildi ----------------- - -Skilgreining: Óeiginleg heildi I -~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ - -.. admonition:: Skilgreining - :class: skilgreining - - Látum :math:`f` vera samfellt fall á bilinu :math:`[a, \infty)`. - Skilgreinum - - .. math:: \int_a^\infty f(x)\,dx=\lim_{R\rightarrow\infty} \int_a^R f(x)\,dx. - - Fyrir fall :math:`f` sem er samfellt á bili :math:`(-\infty, b]` - skilgreinum við - - .. math:: \int_{-\infty}^b f(x)\,dx=\lim_{R\rightarrow-\infty} \int_R^b f(x)\,dx. - - Heildi eins og þau hér að ofan kallast óeiginlegt heildi. - -Í báðum tilvikum segjum við að óeiginlega heildið sé samleitið ef -markgildið er til, en ósamleitið ef markgildið er ekki til. - -.. admonition:: Aðvörun - :class: advorun - - Ef :math:`f` stefnir ekki á 0 þegar :math:`x\to \infty` þá - er heildið ekki samleitið. En jafnvel þó fallið stefni á - 0 þá er ekki víst að heildið sé samleitið, samanber - eftirfarandi dæmi. - -Dæmi -~~~~ - -.. admonition:: Dæmi - :class: daemi - - Heildið :math:`\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx` er samleitið ef - :math:`p>1` en ósamleitið ef :math:`p\leq 1`. - - Ef :math:`p>1` þá er - - .. math:: \int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx=\frac{1}{p-1}. - -Skilgreining: Óeiginleg heildi I, framhald -~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ - -.. admonition:: Skilgreining - :class: skilgreining - - Látum :math:`f` vera fall sem er samfellt á öllum rauntalnaásnum. - - Heildi af gerðinni :math:`\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx` er sagt - samleitið ef bæði heildin :math:`\int_{-\infty}^0 f(x)\,dx` og - :math:`\int_0^\infty f(x)\,dx` eru samleitin og þá er - - .. math:: - - \int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx=\int_{-\infty}^0 f(x)\,dx + - \int_0^\infty f(x)\,dx. - -.. admonition:: Athugasemd - :class: athugasemd - - Það skiptir ekki máli í hvaða punkti heildinu er skipt í tvennt, það má - velja aðra tölu heldur en 0, útkoman verður alltaf sú sama. - -Skilgreining: Óeiginleg heildi II -~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ - -.. admonition:: Skilgreining - :class: skilgreining - - Látum :math:`f` vera samfellt fall á bilinu :math:`(a, b]` og hugsanlega - ótakmarkað í grennd við :math:`a`. Skilgreinum - - .. math:: \int_a^b f(x)\,dx=\lim_{c\rightarrow a^+} \int_c^b f(x)\,dx. - - Fyrir fall :math:`f` sem er samfellt á bili :math:`[a, b)` og hugsanlega - ótakmarkað í grennd við :math:`b` þá skilgreinum við - - .. math:: \int_a^b f(x)\,dx=\lim_{c\rightarrow b^-} \int_a^c f(x)\,dx. - - Í báðum tilvikum segjum við að óeiginlega heildið sé samleitið ef - markgildið er til en ósamleitið ef markgildið er ekki til. - -Dæmi -~~~~ - -.. admonition:: Dæmi - :class: daemi - - Heildið :math:`\int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx` er samleitið ef :math:`p<1` - en ósamleitið ef :math:`p\geq 1`. Ef :math:`p<1` þá er - - .. math:: - - \int_0^1 - \frac{1}{x^p}\,dx=\frac{1}{1-p}. - -Skilgreining -~~~~~~~~~~~~ - -.. admonition:: Skilgreining - :class: skilgreining - - Látum :math:`f` vera samfellt fall á bili :math:`(a,\infty)` og - ótakmarkað í grennd við :math:`a`. Látum :math:`c` vera einhverja tölu - þannig að :math:`a