TODO

# TODO:

- Setup binder
- Add a setup.py to enable compilation once for all of code1.pyx : done
- Rename the code files : done


Questions:

- For V a representation of S_n, name for e_T(V) for e_T a Young symmetrizer?



.. TOPIC:: Objectif

- Réaliser plein de (q,t)-fonctions symmétriques comme caractères de
  bi-modules pour GL_2 \otimes S_n. Plus généralement, des
  (q_1,...,q_k)-fonctions symmétriques comme caractères de bi-modules
  pour GL_k\otimes S_n.

- Stratégie: considérer les polynômes K[X] en k jeux de n variables
  (matrices de variables à k lignes et n colonnes), et réaliser ces
  modules comme sous-modules des coinvariants des polynômes multi
  symmétriques, sous l'action de GL_k sur les lignes et S_n sur les
  colonnes.

- Candidat typique: le sous-module engendrés par le VDM sous l'action
  des opérateurs de dérivation et polarisation

.. TOPIC:: Remarque:

    Soit p\in K[X] multi-homogène (par ligne), tel que p engendre un
    module simple sous l'action de S_n, et M un bi-module engendré par
    p sous l'action de S_n et d'un certain nombre d'opérateurs
    multi-gradués qui commuttent à S_n (typiquement polarisation).
    Alors le bi-caractère de M se lit directement sur les
    multi-graduations des polynômes dans la base de M, celle-ci
    pouvant être calculée par composante multi-graduée.

.. TOPIC:: Definition: alterants (généralisations diagonale du Van Der Monde)

    A diagram `D` is a n-tuple of elements of `\NN^k`. Or equivalently
    an ordered collection of `n` monomials / exponent vectors in `k`
    variables. It models the *alternant*:

        \Delta_D = det (  X_{*,j}^{D_j}  )

.. TOPIC:: Conjecture / Theorem? : 

    The space of alternating diagonal harmonic polynomials is spanned
    by the van-der-monde in the first variables and E polarization
    operators.
    
    It is a theorem. Prouved by Haiman for the case of 2 sets of variables.
    Don't have original ref for the general case but it is given as a theorem 
    in an article of Francois. 

.. TOPIC:: Remarks

    - Applying a polarization operator on some alternant \Delta_D
      gives a simple linear combination of alternants.

    - Relations between the alternants: swaping two exponent vectors
      in `D` multiplies the alternant by `-1`. If two exponent vectors
      coincide, the alternant is zero. Otherwise, there are no linear
      relations.

.. TOPIC:: Lemma

    The *space of diagrams* is the n-fold exterior product of $\K.\NN^k$.
    (i.e. the n-fold exterior product of the polynomial ring in k variables).

    The map `\Delta` extends by linearity into an isomorphism from the
    space of diagrams into the space spanned by alternants in K[X].

    In other words, diagrams provides a combinatorial model for the
    action of polarisation on alternants.

.. TOPIC:: Remark

    There is no know similar combinatorial model for the derivatives
    of alternants.

.. TOPIC:: Question

    Connait-on l'équivalent des Spechts en plusieurs jeux de
    variables? Des Hyper Spechts?

.. TOPIC:: Clarify

    Relation between the action of GL_k and polarization

    If S is a subspace of K[X], then the closure of S under
    polarization is a GL_k module?


.. TOPIC:: To check

    Let P,Q be a pair of tableaux, and p and q be respectively the
    corresponding hyper specht and harmonic polynomials in
    K[x_1,\dots,x_n]. Then `p` and `q` span bi-modules with the same
    character under the action of S_n and polarization.

    No: without being in the harmonics one may obtain by polarization
    linearly independent polynomials which are equal in the
    coinvariants

.. TOPIC:: Remark

    In two sets of variables, the module spaned by a polynomial in one
    set of variable under the action of the polarization operators
    coincide with that under the action of just the E polarization
    operators.

.. TOPIC:: To explore

    Combinatorial model for the space spanned by (hyper) Specht
    polynomials:

    In other words: alternants are diagonal analogue of the
    van-der-monde. Find the analogue of alternants for general
    (hyper-)specht polynomials.

-- TOPIC:: To explore

    What is the `GL_k` character of the space spanned by an (hyper)
    Specht polyomial under polarization?

.. TODO::


    repr / latex pour les diagrames as a matrix

    00,10,20  -> 012
                 000



For which diagrams, H_D is of dimension divisible par n! ?




Théorème I.1, Lattice diagrams & Extended Pieri rules


Théorème:

nabla: opérateur qui est diagonalisé par les macdo avec val propres simples
à t=1, c'est un morphisme d'algèbre

nabla(e_n) = frobenius caractère de la fermeture par polarisation et dérivation à partir du VDM (i.e. coinvariants diagonaux en deux jeux de variables)