-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 21
/
sae1.tex
11178 lines (9118 loc) · 436 KB
/
sae1.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
851
852
853
854
855
856
857
858
859
860
861
862
863
864
865
866
867
868
869
870
871
872
873
874
875
876
877
878
879
880
881
882
883
884
885
886
887
888
889
890
891
892
893
894
895
896
897
898
899
900
901
902
903
904
905
906
907
908
909
910
911
912
913
914
915
916
917
918
919
920
921
922
923
924
925
926
927
928
929
930
931
932
933
934
935
936
937
938
939
940
941
942
943
944
945
946
947
948
949
950
951
952
953
954
955
956
957
958
959
960
961
962
963
964
965
966
967
968
969
970
971
972
973
974
975
976
977
978
979
980
981
982
983
984
985
986
987
988
989
990
991
992
993
994
995
996
997
998
999
1000
\documentclass[11pt,a4paper,notitlepage,fleqn,final]{article}
\input{preamble.tex}
\title{ΣΑΕ 1
\\
{
\normalsize Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου I
\\
\normalsize Σημειώσεις από τις παραδόσεις
}}
\date{Οκτώβριος\textendash Ιανουάριος 2017 \textendash~2018
\\
{
\small Τελευταία ενημέρωση: \today
}
}
\author{
Για τον κώδικα σε \LaTeX, ενημερώσεις και προτάσεις:
\\
\url{https://github.com/kongr45gpen/ece-notes}}
\setallmainfonts(Digits,Latin,Greek){Asana Math}
\setmainfont{Noto Serif}
\setsansfont{Ubuntu}
\usepackage{polyglossia}
\newfontfamily\greekfont[Script=Greek,Scale=1.00]{Liberation Serif}
\hypersetup{pdftitle = {ΣΑΕ 1}}
\begin{document}
\maketitle
\hrule
\vspace{50pt}
\begin{infobox}{Λάθη \& Διορθώσεις}
Οι τελευταίες εκδόσεις των σημειώσεων βρίσκονται στο Github
(\url{https://github.com/kongr45gpen/ece-notes/raw/master/sae1.pdf}) ή
στη διεύθυνση \url{http://helit.org/ece-notes/sae1.pdf}.
Περιέχουν διορθώσεις σε λάθη και τυχόν βελτιώσεις.
\tcblower
Μπορείτε να ενημερώνετε για οποιοδήποτε λάθος και πρόταση
μέσω PM στο forum, issue στο Github, ή οποιουδήποτε άλλου τρόπου!
\end{infobox}
Υπεύθυνη καθηγήτρια: Ζωή Δουλγέρη, ασκήσεις από τον Παπαγεωργίου Δημήτρη - δεν υπάρχει διαχωρισμός ασκήσεων και θεωρίας.
\newpage
\tableofcontents
\newpage
\section{Συστήματα}
Γνωρίζουμε από τα προηγούμενα μαθήματα τι είναι το σύστημα. Σκοπός του μαθήματος είναι να σχεδιάσουμε έναν "ελεγκτή" ώστε ένα σύστημα να έχει μια επιθυμητή έξοδο.
Για παράδειγμα, αν έχουμε έναν κινητήρα που επιθυμούμε να ελέγξουμε, μπορούμε να τον παραστήσουμε με το παρακάτω σχήμα:
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) rectangle (1,1) node[midway] {$\Sigma$};
\draw[->] (1,0.5) -- ++(1,0) node[right] {$y$};
\draw (1.5,0.5) -- (1.5,-1) -- (0,-1);
\draw (0,-0.75) rectangle (-0.5,-1.25) node[midway] {$H$};
\draw[->] (-0.5,-1) -- (-2,-1) -- (-2,0.25);
\draw (-2,0.5) circle (0.25);
\draw[->] (-3,0.5) -- (-2.25,0.5) node[above,midway] {$r$};
\draw (-1.35,0.25) rectangle (-0.65,0.85) node[midway] {$E$};
\draw (-1.75,0.5) -- (-1.35,0.5) ;
\draw (-0.65,0.5) -- (0,0.5) node[above left] {$u$};
\end{tikzpicture}
όπου:
\begin{itemize}
\item \( \Sigma \) είναι ο κινητήρας
\item \( u \) είναι η τάση εισόδου (που ρυθμίζουμε εμείς)
\item \( y \) είναι η έξοδος του συστήματος, εδώ η ταχύτητα του κινητήρα
\item Η ροπή του φορτίου εκφράζει την είσοδο της διαταραχής
\item \( H \) είναι ένας μετρητής που μπορούμε να έχουμε για να ελέγχουμε την ταχύτητα
του κινητήρα
\item \( E \) είναι ο ελεγκτής που θέλουμε να υλοποιήσουμε, ώστε να ρυθμίζει την
τάση \( u \) εισόδου του κινητήρα για να πετύχουμε την επιθυμητή ταχύτητα.
\end{itemize}
Έχουμε και μία \textbf{είσοδο αναφοράς} \( r \) που καθορίζει την επιθυμητή έξοδο του συστήματος.
Στα πλαίσια των ΣΑΕ βρίσκουμε το μαθηματικό μοντέλο του συστήματος, καθώς και το μαθηματικό
μοντέλο του ελεγκτή, και τα υλοποιούμε με φυσικό τρόπο (για παράδειγμα μέσω κυκλωματικών
στοιχείων, μικροελεγκτών, arduino κ.ά).
Παραδείγματα συστημάτων αυτομάτου ελέγχου είναι: Τα αμορτισέρ του αυτοκινήτου, οι κινητήρες
των CD drives, οι κινητήρες των γραμμών παραγωγής (ώστε για παράδειγμα να είμαστε σίγουροι
ότι τα υλικά περνάν από έναν κλίβανο ακριβώς για 30 λεπτά, διατηρώντας σταθερή την
ταχύτητα μεταφοράς τους), κ.ά.
\subsection{Μοντελοποίηση συστημάτων}
\paragraph{}
Για το σύστημα ενός σώματος στο οποίο ασκείται δύναμη, έχουμε πολύ απλά:
\[
F = m\ddot x
\]
Για μια δύναμη ελατηρίου, ισχύει \( F = \kappa \cdot \delta x \), και για μια δύναμη
απόσβεσης/ιξώδους: \( F = d\dot x \)
\paragraph{Ανάρτηση αυτοκινήτου}
Θεωρούμε ότι η ανάρτηση ενός αυτοκινήτου αποτελείται από ένα ελατήριο και έναν αποσβεστήρα:
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) rectangle (2,1) node[midway] {$m$};
\draw (0.5,0) -- ++(0,-0.4)
-- ++(-30:0.2)
-- ++(-150:0.4)
-- ++(-30:0.4)
-- ++(-150:0.4)
-- ++(-30:0.4)
-- ++(-150:0.4)
-- ++(-30:0.2)
-- (0.5,-2);
;
\draw (1.5,0) -- (1.5,-1);
\draw (1.25,-1) -- (1.75,-1);
\draw (1.1,-0.9) -- (1.1,-1.2) -- (1.9,-1.2) -- (1.9,-0.9);
\draw (1.5,-1.2) -- (1.5,-2);
\draw (-0.5,-2) -- (2.5,-2);
\draw[gray] (2.5,1.2) -- (2.5,-2.7);
\draw (1,-2) -- (1,-2.5);
\filldraw (1,-2.5) circle(1pt) node[below left] {$\rho$};
\draw[dashed] (0.5,0) -- (3,0) node[right] {$x_0$};
\draw[dashed] (0.5,-2) -- (3,-2) node[right] {$x_i$};
\end{tikzpicture}
Και όπως πριν προκύπτει η σχέση:
\[
m\ddot x_0 + b(\dot x_0 - \dot x_i) + \kappa (x_0-x_i) = 0
\]
η οποία μπορεί να μετασχηματιστεί κατά Laplace:
\begin{align*}
m\ddot x_0 + b\dot x_0 + \kappa x_0 &= b\dot x_i + \kappa \dot x_i \\
ms^2X_0(s) + bsX_0(s) + \kappa X_0(s) &= X_1(s)bs + \kappa X_1(s) \\
\Aboxed{\frac{X_0(s)}{X_1(s)} &= \frac{bs+\kappa}{ms^2+bs+\kappa} }
\end{align*}
Αυτή είναι μία απλή μέθοδος μοντελοποίησης συστημάτων, αλλά η μοντελοποίηση δεν είναι
αντικείμενο αυτού του μαθήματος.
\subsection{Ορισμοί}
\begin{defn}{Συνάρτηση μεταφοράς}{}
\begin{itemize}
\item
\textbf{Συνάρτηση μεταφοράς:} \(
\displaystyle G(s) = \frac{Y(s)\quad\text{\small (έξοδος)}}{U(s) \quad
\text{\small (είσοδος)} }
= \frac{N(s)\quad \text{\small (αριθμητής)}}{D(s)\quad \text{\small (παρονομαστής)} }
\)
\item \textbf{Χαρακτηριστικό πολυώνυμο:} \( D(s) \)
\end{itemize}
\end{defn}
Θυμόμαστε ότι στα φυσικά συστήματα δεν γίνεται να έχουμε βαθμό του αριθμητή μεγαλύτερο από
το βαθμό του παρονομαστή.
\begin{defn}{Μορφές έκφρασης συνάρτησης μεταφοράς}{}
\begin{align*}
H(s) &= \frac{K(s+z_1)\cdots(s+z_m)}{(s+p_1)\cdots(s+p_n)} \\
H(s) &= \frac{G(1+s\tau_{n+1})\cdots(1+s\tau_{n+m})}{(1+s\tau_1)\cdots(1+s\tau_n)}
\quad \text{όπου } G=\frac{kz_1\cdots z_m}{p_1\cdots p_m}
\end{align*}
\end{defn}
\begin{defn}{Πόλοι \& Μηδενικά}{}
\begin{itemize}
\item \textbf{Πόλοι} ονομάζονται οι τιμές \( p \) για τις οποίες ισχύει:
\[
\mathlarger{\lim_{s\to p} \left\lvert H(s) \right\rvert} = \infty
\]
\item \textbf{Μηδενικά} ονομάζονται οι τιμές \( z \) για τις οποίες ισχύει:
\[
\mathlarger{\lim_{s\to z} \left\lvert H(s) \right\rvert} = 0
\]
\end{itemize}
\end{defn}
\begin{defn}{DC κέρδος}{}
\textbf{DC κέρδος} ονομάζεται η τιμή της συνάρτησης μεταφοράς για \( s = 0\):
\[
\text{dc gain} = H(0)
\]
Ουσιαστικά αντιστοιχεί στην τιμή της απόκρισης σε μοναδιαία βηματική συνάρτηση για
\( t\to\infty \).
\end{defn}
\begin{theorem}{Σύνδεση εν σειρά}{}
Όταν συνδέουμε δύο απομονωμένα συστήματα εν σειρά, για τις συναρτήσεις μεταφοράς τους
ισχύει:
\[
G(s) = G_1(s)G_2(s)
\]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\draw[->] (0,0) -- (1,0) node[above,midway] {$X_1(s)$};
\draw (1,-0.3) rectangle (2,0.3) node[midway] {$G_1(s)$};
\draw (2,0) -- (3,0) node[above,midway] {$X_2(s)$};
\draw (3,-0.3) rectangle (4,0.3) node[midway] {$G_2(s)$};
\draw[->] (4,0) -- (5,0) node[above,midway] {$X_3(s)$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{theorem}
\paragraph{Παράδειγμα} \hspace{0pt}
\begin{circuitikz}[american,scale=1.4]
\ctikzset{bipoles/thickness=3}
\draw (0,2) to [V=$u(s)$] (0,0);
\draw[color=green!50!black] (0,2)
to[R=$R_1$] (2,2)
to[C=$C_1$] (2,0)
-- (0,0);
\draw[color=green!50!cyan!50!black] (2,2)
to[R=$R_2$] (4,2)
to[C=$C_2$] (4,0)
-- (2,0);
\draw (4,2) to[short,-*] (5,2);
\draw (4,0) to[short,-*] (5,0);
\draw (5,2) to[open, v^=$y$] (5,0);
\end{circuitikz}
Για το παραπάνω κύκλωμα, αν και έχουμε δύο συστήματα ενωμένα σε σειρά, δεν μπορούμε να
εφαρμόσουμε το θεώρημα στο παραπάνω κύκλωμα, αφού τα επιμέρους κυκλώματα δεν είναι απομονωμένα
και παρουσιάζουν σύνθετες αντιστάσεις εισόδου και εξόδου. Πράγματι, αν επιλύσουμε το
κύκλωμα:
\begin{align*}
G_1(s)G_2(s) &= \frac{1}{(R_1C_1s+1)}\frac{1}{(R_2C_2s+1)} \\
\frac{y(s)}{u(s)} &= \frac{1}{R_1C_1R_2C_2s^2+(R_1C_1+R_2C_2+\underline{R_1C_2})s+1}
\end{align*}
Παρατηρούμε τον όρο \( R_1C_2s \) που δεν υπάρχει στον απλό πολλαπλασιασμό των δύο
συστημάτων.
\begin{exercise}
Ποιές από τις παρακάτω συναρτήσεις μεταφοράς έχουν \textbf{ρυθμούς} (ρίζες του παρονομαστή)
που δεν είναι πόλοι;
\begin{enumroman}
\item \( \displaystyle \frac{s+8}{(s+3)(s+10)} \)
\item \( \displaystyle \frac{s+1}{(s+1)^2(s+2)} \)
\item \( \displaystyle \frac{s+9}{(s+2)^2+9} \)
\item \( \displaystyle \frac{s+1}{(s+1)(s+2)} \)
\end{enumroman}
\tcblower
\begin{enumroman}
\item Έχει μηδενικό στο \( -8 \) και πόλους στα \( -3 \) και \( -10 \).
\item Έχει μόνο έναν πόλο στο \( -1 \) και στο \( -2 \).
\item Έχει μηδενικό στο \( -9 \) και πόλους στα \( -2+j3 \) και \( -2-j3 \).
\item Έχει μόνο πόλο στο \( -2 \).
\end{enumroman}
Η λύση αυτή μπορεί να προκύψει από τους ορισμούς του πόλου και του μηδενικού.
\end{exercise}
\subsection{Σύστημα κλειστού βρόχου}
\begin{tikzpicture}[scale=1.3]
\draw[->] (-0.25,0) -- (0.5,0) node[above,midway] {$r(s)$};
\draw (0.75,0) circle (0.25);
\draw (1,0) -- ++(0.5,0) node[above,midway,green!50!black,scale=0.8] {$w(s)$};
\draw (1.5,-0.5) rectangle (3,0.5) node[midway] {$G(s)$};
\draw (3,0) -- (3.75,0);
\draw (4,0) circle (0.25);
\draw[->] (4.25,0) -- ++(1,0) node[above right] {$y$};
\draw[<-] (4,0.25) node[left] {$+$} --++ (0,0.5)
node[above,rectangle,align=center,scale=0.8]
{είσοδος\\διαταραχής\\$d(s)$};
\draw (4.5,0) -- ++(0,-1.5) -- (3,-1.5);
\draw (1.5,-2) rectangle (3,-1) node[midway] {$H(s)$};
\draw[->] (1.5,-1.5) -- (0.75,-1.5) node[above,midway,green!50!black,scale=0.8] {$f(s)$}
-- ++(0,1.25) node[right,xshift=1mm,yshift=-1mm] {$-$};
\end{tikzpicture}
Ορίζουμε:
\begin{alignat*}{2}
\text{\textbf{συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου}: } && T(s) &= \frac{y(s)}{r(s)} \\
\text{\textbf{συνάρτηση μεταφοράς εισόδου διαταραχής}: } && T_d(s) &= \frac{y(s)}{d(s)}
\end{alignat*}
Για να υπολογίσουμε την έξοδο του συστήματος, αν δεν λάβουμε υπ' όψιν
την είσοδο διαταραχής:
\begin{align*}
y(s) &= G(s)w(s)
\\ &= G(s)\left( r(s)-f(s) \right) \\
y(s) &= G(s)\left[ r(s)-H(s)y(s) \right] \\
y(s)\left[1+G(s)H(s)\right] &= G(s)r(s) \\
y(s) &= \frac{G(s)r(s)}{1+G(s)H(s)} \\
T(s) &= \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}
\end{align*}
Αν συμπεριλάβουμε και την είσοδο διαταραχής, το ζητούμενο είναι η είσοδος αυτή να μην
επηρεάζει καθόλου (ή όσο το δυνατόν λιγότερο) την έξοδο. Έχουμε:
\begin{align*}
y(s) &= d(s) + G(s)w(s)
\\ &= d(s) - G(s)f(s) \\ &= d(s) - G(s)H(s)y(s) \implies \\
y(s)\left[ 1+G(s)H(s) \right] &= d(s) \implies \\
T_d(s) &= \frac{y(s)}{d(s)} = \frac{1}{1+G(s)H(s)}
\end{align*}
Συνοπτικά:
\begin{theorem}{Συναρτήσεις μεταφοράς σε σύστημα κλειστού βρόχου}{}
Για ένα σύστημα κλειστού βρόχου με είσοδο \( r(s) \), είσοδο διαταραχής
\( d(s) \), συνάρτηση \( G(s) \) στην ευθεία διαδρομή και \( H(s) \) στη
διαδρομή ανάδρασης, οι συναρτήσεις μεταφοράς είναι:
\begin{align*}
T(s) &= \left. \frac{y(s)}{r(s)} \right\rvert_{d(s) = 0}
= \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \\
T_{d}(s) &= \left. \frac{y(s)}{d(s)} \right\rvert_{r(s) = 0}
=
\frac{1}{1+G(s)H(s)}
\end{align*}
και η συνολική έξοδος του συστήματος είναι:
\[
y(s) = T(s)r(s) + T_d(s)d(s)
\]
\end{theorem}
Παρατηρούμε ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι το ίδιο στις δύο συναρτήσεις μεταφοράς.
\begin{attnbox}{Συναρτήσεις μεταφοράς ανοιχτού και κλειστού βρόχου}
Πρέπει να δοθεί προσοχή στη διαφορά των συναρτήσεων μεταφοράς \textbf{ανοιχτού}
και \textbf{κλειστού} βρόχου.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (-0.25,0) -- (0.5,0) node[above,midway] {$r(s)$};
\draw (0.75,0) circle (0.25);
\draw (1,0) -- ++(0.5,0);
\draw (1.5,-0.5) rectangle (3,0.5) node[midway] {$\displaystyle G(s)$};
\draw (3,0) -- (4,0);
\draw[->] (4,0) -- ++(1,0) node[above right] {$y$};
\draw (4,0) -- ++(0,-1.5) -- (3,-1.5);
\draw (1.5,-2) rectangle (3,-1) node[midway] {$\displaystyle H(s)$};
\draw (1.5,-1.5) -- (0.75,-1.5) -- ++(0,1.25) node[below right] {$-$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
Σε ένα σύστημα με μοναδιαία αρνητική ανάδραση, όπως το παραπάνω, η
\textbf{συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόχου} (ΣΜΑΒ) είναι η \( G(s)H(s) \), ενώ η
\textbf{συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου} (ΣΜΚΒ) είναι η συνάρτηση μεταφοράς ολόκληρου
του συστήματος:
\begin{align*}
\text{\textbf{συνάρτηση μεταφοράς \textit{ανοιχτού} βρόχου}:} &\quad G(s)H(s)\\
\text{\textbf{συνάρτηση μεταφοράς \textit{κλειστού} βρόχου}:}&\quad T(s) = \frac{G}{1+GH}
\end{align*}
\end{attnbox}
\paragraph{Παράδειγμα} \hspace{0pt}
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (-0.25,0) -- (0.5,0) node[above,midway] {$r(s)$};
\draw (0.75,0) circle (0.25);
\draw (1,0) -- ++(0.5,0);
\draw (1.5,-0.5) rectangle (3,0.5) node[midway] {$\displaystyle\frac{\kappa}{s+a}$};
\draw (3,0) -- (4,0);
\draw[->] (4,0) -- ++(1,0) node[above right] {$y$};
\draw (4,0) -- ++(0,-1.5) -- (3,-1.5);
\draw[dashed] (3,-1.5) -- (1.5,-1.5);
\draw (1.5,-1.5) -- (0.75,-1.5) -- ++(0,1.25) node[below right] {$-$};
\end{tikzpicture}
Θα υπολογίσουμε την έξοδο του συστήματος \underline{χωρίς ανάδραση} και \underline{με ανάδραση} σε βηματική είσοδο \( r(s) \rightarrow \mathrm u(t) \).
\subparagraph{Χωρίς ανάδραση} \hspace{0pt}
Το σύστημα χωρίς ανάδραση είναι το παραπάνω χωρίς τον κάτω βρόχο:
\begin{tikzpicture}[baseline,scale=0.7]
\draw[->] (-0.25,0) -- (0.5,0) node[above,midway] {$r(s)$};
\draw (0.75,0) circle (0.25);
\draw (1,0) -- ++(0.5,0);
\draw (1.5,-0.5) rectangle (3,0.5) node[midway] {$\frac{\kappa}{s+a}$};
\draw (3,0) -- (4,0);
\draw[->] (4,0) -- ++(1,0) node[above right] {$y$};
\end{tikzpicture}
Και ισχύει:
\begin{align*}
y(s) &= r(s)\frac{\kappa}{s+a} \\
y(s) &= \kappa\frac{1}{s}\frac{1}{s+a} \\
y(t) &= \kappa\left( 1-e^{\sfrac{-t}{\tau}} \right)
\end{align*}
(όπου η σταθερά χρόνου \( \tau = \frac{1}{a} \))
Για \( t\to \infty \) το αποτέλεσμα είναι \( y(t) = \kappa \).
\subparagraph{Με ανάδραση}
\begin{align*}
y(s) &= \frac{G(s)r(s)}{1+G(s)} \implies \dots \implies
\tau' = \frac{1}{a+\kappa}
\end{align*}
Παρατηρούμε πως το σύστημα αυτό φτάνει πολύ πιο γρήγορα στην τελική του τιμή. Αυτό φαίνεται
αν συγκρίνουμε τις σταθερές χρόνου μεταξύ τους, σκεπτόμενοι ότι λειτουργούν ως συντελεστές
στην εκθετική συνάρτηση:
\begin{tikzpicture}
\draw (-2,0) -- (2,0);
\draw (0,-2) -- (0,2);
\draw (-1.5,0) node[cross=4pt,thick,blue] {} node[below,yshift=-1mm] {$-a-\kappa$};
\draw (-0.5,0) node[cross=4pt,thick,yellow!50!brown!50!red] {} node[above,yshift=1mm] {$-a$};
\begin{scope}[xshift=4cm]
\draw (-1,0) -- (3,0);
\draw (0,-2) -- (0,2);
\draw [very thick, color=yellow!50!brown!50!red, domain=0:3,variable=\t, samples=\gsamples, smooth]
plot (\t,{ 1-exp(-\t) }) node[below] {$-a$};
\draw [very thick, color=blue, domain=0:3,variable=\t, samples=\gsamples, smooth]
plot (\t,{ 1-exp(-5*\t) }) node[above,xshift=-2cm] {$-a-k$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\subsection{Ισοδύναμα λειτουργικά διαγράμματα}
Για τη διευκόλυνσή της εύρεσης της συνάρτησης μεταφοράς, μπορούμε αντί να βρούμε την έξοδο
αλγεβρικά χρησιμοποιώντας ενδιάμεσες συναρτήσεις, να εφαρμόσουμε κανόνες όπως τους
παρακάτω:
\begin{infobox}{}
\begin{itemize}
\item
\begin{tikzpicture}[scale=1.3,baseline]
\begin{scope}[yshift=2mm]
\draw[->] (0,0) -- (0.75,0);
\draw (0.75,-0.7/2) rectangle ++(1,0.7) node[midway] {$H$};
\draw[->] (1.75,0) -- (2.5,0) node[right] {$y_1$};
\draw[->] (2,0) -- (2,-0.5) -- (2.5,-0.5) node[right] {$y_2$};
\end{scope}
\draw[->,very thick,gray!20!black] (4,0) to[bend left=10] ++(1.5,0);
\begin{scope}[xshift=6.5cm]
\draw (0,0) -- (0.5,0);
\draw (0.5,0) -- (0.5,0.3) -- (1,0.3);
\draw (0.5,0) -- (0.5,-0.3) -- (1,-0.3);
\draw (1,-0.5) rectangle (1.7,-0.1) node[midway] {$H$};
\draw[->] (1.7,-0.3) -- ++(0.5,0) node[right] {$y_2$};
\draw (1,0.5) rectangle (1.7,0.1) node[midway] {$H$};
\draw[->] (1.7,0.3) -- ++(0.5,0) node[right] {$y_1$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\item
\begin{tikzpicture}[scale=1.3,baseline]
\begin{scope}[]
\draw[->] (0,0) -- (0.75,0) node[above,midway] {$u$};
\draw (0.75,0) -- (0.75,0.5) -- (1.25,0.5);
\draw (1.25,0.5-0.7/2) rectangle ++(1,0.7) node[midway] {$H$};
\draw[->] (2.25, 0.5) -- (2.75,0.5) node[right] {$y$};
\draw[->] (0.75,0) -- (0.75,-0.5) -- (2.75, -0.5) node[right]{$y_1$};
\end{scope}
\draw[->,very thick,gray!20!black] (4,0) to[bend left=10] ++(1.5,0);
\begin{scope}[xshift=6.5cm,yshift=0.3cm]
\draw[->] (0,0) -- (0.75,0) node[above,midway] {$u$};
\draw (0.75,-0.5/2) rectangle ++(0.75,0.5) node[midway] {$H$};
\draw[->] (1.5,0) -- (2.25,0) node[right] {$y$};
\draw[->] (1.75,0) -- (1.75,-0.5) -- (2.25,-0.5);
\draw (2.25,-0.5-0.5/2) rectangle ++(0.75,0.5) node[midway] {$\frac{1}{H}$};
\draw[->] (3,-0.5) -- ++(0.5,0) node[right] {$y_1$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\item
\begin{tikzpicture}[scale=1.3,baseline]
\begin{scope}[]
\draw[->] (0,0.5) -- ++(0.75,0);
\draw (0.75,0.5-0.5/2) rectangle ++(0.75,0.5) node[midway] {$H_1$};
\draw[->] (1.5,0.5) -- (2.25,0.5) -- (2.25,0.2) node[right,yshift=1mm,xshift=1mm] {$+$};
\draw[->] (0,-0.5) -- ++(0.75,0);
\draw (0.75,-0.5-0.5/2) rectangle ++(0.75,0.5) node[midway] {$H_2$};
\draw[->] (1.5,-0.5) -- (2.25,-0.5) -- (2.25,-0.2);
\draw (2.25,0) circle (2mm);
\draw[->] (2.45,0) -- ++(0.75,0) node[above,pos=.9] {$y$};
\end{scope}
\draw[->,very thick,gray!20!black] (4,0) to[bend left=10] ++(1.5,0);
\begin{scope}[xshift=6.5cm]
\draw[] (0,0.5) -- ++(0.6,0);
\draw (0.6,0.5-0.5/2) rectangle ++(1,0.5) node[midway] {$\sfrac{H_1}{H_2}$};
\draw[->] (1.6,0.5) -- (2.25,0.5) -- (2.25,0.2) node[right,yshift=1mm,xshift=1mm] {$+$};
\draw[->] (0,-0.5) -- (2.25,-0.5) -- (2.25,-0.2);
\draw (2.25,0) circle (2mm);
\draw (3.05,-0.4/2) rectangle ++(0.8,0.4) node[midway] {$H_2$};
\draw[] (2.45,0) -- ++(0.6,0);
\draw[->] (3.85,0) -- ++(0.6,0) node[right] {$y$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{itemize}
\end{infobox}
\paragraph{Παράδειγμα} \hspace{0pt}
\begin{tikzpicture}
\def\h{0.6}
\def\l{1}
\def\ll{0.75}
\draw[->] (0,0) node[green!70!black,scale=.8,opacity=.8,left] {$r(s)$} -- (1.5-0.2,0);
\begin{scope}[xshift=1.5cm]
\draw (0,0) circle (2mm);
\draw (0.2,0) -- ++(0.75,0);
\draw (0.2+0.75, -\h/2) rectangle ++(\l, \h) node[midway] {$H_1$};
\draw[->] (\l+0.2+0.75,0) -- (2.8,0) node[green!70!black,scale=.8,opacity=.8,above,midway] {$w(s)$};
\draw (3,0) circle (2mm);
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=4.5cm]
\draw (0.2,0) -- ++(0.75,0);
\draw (0.2+0.75, -\h/2) rectangle ++(\l, \h) node[midway] {$H_2$};
\draw[] (\l+0.2+0.75,0) -- (3.5,0) node[right] {$y(s)$};
\end{scope}
\draw (0.5,0) -- ++(0,1.5) -- (4.5,1.5) -- (4.5,1);
\draw (4.5-\ll/2,1) rectangle (4.5+\ll/2,0.6) node[midway] {$\kappa$};
\draw[->] (4.5,0.6) -- (4.5,0.2) node[right,xshift=1mm,yshift=1mm] {$+$};
\draw[->] (4.5+2.5,0) -- ++(0,-1.5) -- (1.5,-1.5) -- (1.5,-0.2) node[right,xshift=1mm,yshift=-1mm] {$-$};
\end{tikzpicture}
Χρησιμοποιώντας τους παραπάνω κανόνες, ή την προηγούμενη μέθοδο, μπορούμε να βρούμε:
\[
T(s) = \frac{\kappa H_2(s)+H_2(s)H_1(s)}{1+H_1(s)H_2(s)}
\]
Ενδεικτικά, με βοηθητικές συναρτήσεις, οι πράξεις γίνονται ως εξής:
\begin{align*}
y(s) &= H_2(s)\cdot\left( \kappa r(s) + w(s) \right)
\\ &= H_2 \cdot \left[ \kappa r + H_1 \left( r - y \right) \right]
\\ &= \kappa H_2 r + H_2H_1r - H_1H_2y \implies
\\ y \cdot (1+H_1H_2) &= \kappa H_2 r + H_2H_1 r \implies
\\ y &= \frac{\kappa H_2 r + H_2H_1 r}{1+H_1H_2} \implies
\\ T(s) &= \frac{\kappa H_2(s) + H_2(s)H_1(s) }{1+H_1(s)H_2(s)}
\end{align*}
\newpage
\section{Προδιαγραφές}
Ορίζουμε κάποιες προδιαγραφές που επιθυμούμε να πληροί η έξοδος του συστήματος, όπως η
ακρίβεια θέσης, η ταχύτητα της απόκρισης, η ευστάθεια κλπ. Για να μετρήσουμε ποσοτικά αυτά
τα κριτήρια, ορίζουμε νέα μεγέθη και χρησιμοποιούμε διάφορες συναρτήσεις ως
"εισόδους αναφοράς", όπως την κρουστική \( \delta(t) \) (για μελέτη ευστάθειας),
τη βηματική \( \mathrm u(t) \), την ράμπα, την ημιτονοειδή (για μελέτη
απόκρισης συχνότητας και ταχύτητας) κλπ.
\subsection{Ακρίβεια}
Το ζητούμενο της ακρίβειας είναι η τελική έξοδος να είναι κοντά στην επιθυμητή είσοδο.
Για να υπολογίσουμε την τελική έξοδο, δεν χρειάζεται να υπολογίσουμε τον αντίστροφο Μ/Σ
Laplace της συνάρτησης για να πάμε στο πεδίο του χρόνου, αλλά αρκεί να χρησιμοποιηθεί το θεώρημα της τελικής τιμής:
\[
f(\infty) = \lim_{s\to 0} sF(s)
\]
Για παράδειγμα, για βηματική είσοδο (\( \mathrm u(t) \rightarrow \frac{1}{s}\))
σε ένα σύστημα (ss = steady state):
\begin{align*}
y_{\mathrm{ss}} &= \lim_{s\to 0} sF(s) = \lim_{s\to 0} sH(s)\frac{1}{s} =
\lim_{s\to 0} H(s)
\end{align*}
\begin{comment}
\begin{tikzpicture}
\def\h{0.6}
\def\l{1.2}
\def\ll{0.75}
\draw[->] (0,0) node[left] {$r(s)$} -- (1-0.2,0);
\begin{scope}[xshift=1cm]
\draw (0,0) circle (2mm);
\draw (0.2,0) -- ++(0.75,0);
\draw (0.2+0.75, -\h/2) rectangle ++(\l, \h) node[midway] {$G_1(s)$};
\draw (\l+0.2+0.75,0) -- (3,0);
\draw (3, -\h/2) rectangle ++(\l, \h) node[midway] {$G_2(s)$};
\draw (3+\l,0) -- (5-0.2,0);
\draw[->] (5,1) -- ++(0,-1+0.2) node[midway,right] {$d(s)$};
\draw (5,0) circle (2mm);
\draw[->] (5+0.2,0) -- ++(1,0) node[right] {$y$};
\end{scope}
\draw[->] (4.5+2.2,0) -- ++(0,-1.5) -- (4,-1.5);
\draw (4,-1.5-\h/2) rectangle ++(-\l,\h) node[midway] {$H(s)$};
\draw[->] (4-\l,-1.5) -- (1,-1.5) -- (1,-0.2);
\end{tikzpicture}
\end{comment}
Για να μελετήσουμε την ακρίβεια, ορίζουμε το σφάλμα:
\begin{defn}{Σφάλμα}{}
Ορίζουμε το \textbf{σφάλμα} ως τη διαφορά της εξόδου από την είσοδο:
\[
e(s) = r(s) - y(s)
\]
\end{defn}
Χρησιμοποιούμε διάφορες εισόδους για να βρούμε διάφορα είδη σφαλμάτων του συστήματος:
\begin{infobox}{Είσοδοι για μελέτη σφαλμάτων}
\begin{alignat*}{5}
\begin{tikzpicture}[scale=0.4,baseline]
\draw (-0.2,0) -- (2,0);
\draw (0,-0.2) -- (0,2);
\draw [very thick, color=blue] (0,1.8) -- (2,1.8);
\end{tikzpicture}\quad
r(t) &= \mathrm u(t) &&\quad r(s) = \frac{1}{s} &\qquad e_{\mathrm ssp} & \quad{\text{σφάλμα \textbf{θέσης}}} \\
\begin{tikzpicture}[scale=0.4,baseline]
\draw (-0.2,0) -- (2,0);
\draw (0,-0.2) -- (0,2);
\draw [very thick, color=blue] (0,0) -- (2,2);
\end{tikzpicture}\quad
r(t) &= t &&\quad r(s) = \frac{1}{s^2} &\qquad e_{\mathrm ssv} & \quad{\text{σφάλμα \textbf{ταχύτητας}}} \\
\begin{tikzpicture}[scale=0.4,baseline]
\draw (-0.2,0) -- (2,0);
\draw (0,-0.2) -- (0,2);
\draw [very thick, color=blue, domain=0:2,variable=\t, samples=\gsamples, smooth]
plot (\t,\t^2/2);
\end{tikzpicture}\quad
r(t) &= \sfrac{t^2}{2} &&\quad r(s) = \frac{1}{s^3} &\qquad e_{\mathrm ssa} & \quad{\text{σφάλμα \textbf{επιτάχυνσης}}}
\end{alignat*}
\end{infobox}
Για παράδειγμα, για το σύστημα κλειστού βρόχου, θυμόμαστε ότι:
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\draw[->] (-0.25,0) -- (0.5,0) node[above,midway] {$r(s)$};
\draw (0.75,0) circle (0.25);
\draw (1,0) -- ++(0.5,0);
\draw (1.5,-0.5) rectangle (3,0.5) node[midway] {$H(s)$};
\draw (3,0) -- (3.75,0);
\draw[->] (3.25,0) -- ++(1,0) node[above right] {$y$};
\draw (3.6,0) -- ++(0,-1.5) -- (3,-1.5) -- (1.5,-1.5);
\draw[dashed] (1.5,-2) rectangle (3,-1) node[midway,opacity=.5] {$G(s)$};
\draw[->] (1.5,-1.5) -- (0.75,-1.5) -- ++(0,1.25) node[right,xshift=1mm,yshift=-1mm] {$-$};
\end{tikzpicture}
Αν θεωρήσουμε ότι η \( G(s) \) είναι \( 1 \), τότε:
\begin{align*}
\frac{y(s)}{r(s)} &= \frac{H(s)}{1+H(s)} \\
\text{όπου } H(s) &=
\frac{G(τ_{n+1}s+1)\cdots(τ_{n+m}s+1)}{s^N(1+sτ_1)\cdots(1+sτ_n)} \implies
\\
e(s) &= r(s)-y(s) = \frac{1}{1+H(s)}r(s)
\intertext{Τώρα μπορούμε να υπολογίσουμε το σφάλμα \textbf{σταθερής κατάστασης},
χρησιμοποιώντας το θεώρημα τελικής τιμής:}
e_{\mathrm{ss}} &= \lim_{s\to 0}se(s)
\end{align*}
(δηλαδή \( N \) είναι η τάξη του τυχόν πόλου στο 0).
Εφαρμόζοντας τις διάφορες συναρτήσεις ως εισόδους, σύμφωνα με τα παραπάνω, έχουμε:
\begin{alignat*}{3}
e_{\mathrm{ssp}} &= \frac{1}{\displaystyle 1+\underbrace{\lim_{s\to 0}H(s)}_{K_\mathrm{pos}}}
= \frac{1}{1+{\color{green!50!black}K_\mathrm{pos}}}
&&= \begin{cases}
\frac{1}{1+{\color{green!50!black}G}} \qquad &\text{για } N = 0 \\
\frac{1}{1+{\color{green!50!black}\infty}} = 0 \qquad &\text{για } N \geq 1
\end{cases}
\\
e_{\mathrm{ssv}} &= \frac{1}{\displaystyle \underbrace{\lim_{s\to 0} sH(s)}_{K_v} }
= \frac{1}{\color{cyan!50!black}K_v} &&=
\begin{cases}
\frac{1}{\color{cyan!50!black}0} = \infty \qquad &\text{για } N = 0
\\
\frac{1}{\color{cyan!50!black}G}\qquad &\text{για } N=1
\\
\frac{1}{\color{cyan!50!black}\infty} = 0\qquad &\text{για } N\geq 2
\end{cases}
\\
e_{\mathrm{ssa}} &= \frac{1}{\displaystyle \underbrace{\lim_{s\to 0} s^2H(s)}_{K_a}}
= \frac{1}{\color{orange!50!black}K_a}
&&= \begin{cases}
\infty \qquad &\text{για } N \leq 1 \\
\frac{1}{\color{orange!50!black} G} \qquad &\text{για } N = 2 \\
0 \qquad &\text{για } N > 2
\end{cases}
\end{alignat*}
Δε συζητάμε για ακρίβειες πέραν της επιτάχυνσης, επειδή σπάνια τα συστήματα έχουν πάνω από
2 ολοκληρωτές.
\begin{defn}{Ολοκληρωτής}{}
Ένας \textbf{πόλος στο 0} λειτουργεί σαν \textbf{ολοκληρωτής}, επειδή
έχει την ιδιότητα να ολοκληρώνει το σήμα εισόδου.
\end{defn}
\begin{defn}{Τύπος συστήματος}{}
Ο \textbf{τύπος του συστήματος} είναι ο αριθμός των ολοκληρωτών που έχει.
\end{defn}
\begin{attnbox}{Σφάλματα στο κλειστό σύστημα}
Στους παραπάνω τύπους χρησιμοποιήσαμε τη
\textbf{συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόχου} \( H(s) \)
για να βρούμε το σφάλμα στην απόκριση του \textbf{κλειστού βρόχου}, σε σύστημα
\textbf{μοναδιαίας αρνητικής ανάδρασης}.
Αν έχουμε στη διάθεσή μας μόνο τη συνάρτηση μεταφοράς του κλειστού βρόχου ή κάποια
άλλη μορφή συστήματος, θα πρέπει να καταφύγουμε στον τύπο \( e(s) = r(s) - y(s) \) ή
σε κάποιο άλλο μαθηματικό κόλπο.
\end{attnbox}
\paragraph{Παράδειγμα}
Έστω το σύστημα:
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\draw[->] (-0.25,0) -- (0.5,0) node[above,midway] {$r(s)$};
\draw (0.75,0) circle (0.25);
\draw (1,0) -- ++(0.5,0);
\draw (1.5,-0.5) rectangle (3,0.5) node[midway] {$H(s)$};
\draw (3,0) -- (3.75,0);
\draw (4,0) circle (0.25);
\draw[->] (4.25,0) -- ++(1,0) node[above right] {$y$};
\draw ({(3+1.5)/2},0.5) node[above] {$\frac{1}{s(s+a)}$};
\draw[<-] (4,0.25) node[right,xshift=1mm,yshift=1mm] {$+$} --++ (0,0.5)
node[above,rectangle,align=center,scale=0.8]
{$d(s)=\frac{1}{s}$};
\draw[->] (4.5,0) -- ++(0,-1.5) -- (0.75,-1.5) -- ++(0,1.25)
node[right,xshift=1mm,yshift=-1mm] {$-$};
\end{tikzpicture}
Ποιά θα είναι η έξοδος του συστήματος στη μόνιμη κατάσταση αν προσθέσουμε την είσοδο
διαταραχής;
\subparagraph{}
Αν δεν υπήρχε η διαταραχή, θα είχαμε σφάλμα θέσης μόνιμης κατάστασης
\( e_{\mathrm{ssp}} = 0 \), αφού η \( H(s) \) έχει έναν ολοκληρωτή.
Επομένως αγνοούμε την επίδραση της \( r(s) \), και υπολογίζουμε την έξοδο αν
υπάρχει μόνο η διαταραχή.
Γνωρίζουμε για το σύστημα κλειστού βρόχου ότι:
\begin{align*}
\frac{y(s)}{d(s)} &= \frac{1}{1+H(s)} \\
\lim_{s\to 0}sy(s) &= \lim_{s\to 0} s\frac{d(s)}{1+H(s)}
= \lim_{s\to 0} s\frac{\frac{1}{s}}{1+H(s)} = \lim_{s\to 0}\frac{1}{1+H(s)} = 0
% \frac{y(s)}{r(s)} &= \frac{H(s)}{1+H(s)}\\
% y(s) &= \frac{H(s)}{1+H(s)}r(s) + \frac{1}{1+H(s)}d(s)
\end{align*}
Δηλαδή \( y_{\mathrm{ss}} = 0 \), άρα το σύστημα έχει πάλι τέλεια ακρίβεια, και σφάλμα θέσης
0.
\paragraph{Παράδειγμα} \hspace{0pt}
Το παρακάτω διάγραμμα αντιστοιχεί σε έναν κινητήρα:
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\draw[->] (-0.25,0) -- (0.5,0) node[above,midway] {$r(s)$};
\draw (0.75,0) circle (0.25);
\draw (1,0) -- ++(0.5,0);
\draw (1.5,-0.5) rectangle (3,0.5) node[midway] {$κ$};
\draw (3,0) -- (3.75,0);
\draw (4,0) circle (0.25);
\draw (5,-0.5) rectangle (6.5,0.5) node[midway] {$\frac{1}{s(Js+b)}$};
\draw (4.25,0) -- (5,0);
\draw[->] (6.5,0) -- ++(1,0) node[above right] {$y$};
\draw[<-] (4,0.25) node[right,xshift=1mm,yshift=1mm] {$+$} --++ (0,0.5)
node[above] {$d$};
\draw[->] (7,0) -- ++(0,-1.5) -- (0.75,-1.5) -- ++(0,1.25)
node[right,xshift=1mm,yshift=-1mm] {$-$};
\end{tikzpicture}
Το μετασχηματίζουμε στο ισοδύναμό του, ώστε να εφαρμόσουμε τους τύπους κλειστού βρόχου:
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\draw[->] (-0.25,0) -- (0.5,0) node[above,midway] {$r(s)$};
\draw (0.75,0) circle (0.25);
\draw (1,0) -- ++(0.5,0);
\draw (1.5,-0.5) rectangle (3,0.5) node[midway] {$κ$};
\draw (3,0) -- (3.75,0);
\draw (4,0) circle (0.25);
\draw (6,-0.5) rectangle (7.5,0.5) node[midway] {$\frac{1}{s(Js+b)}$};
\draw (4.25,0) -- (6,0);
\draw[->] (7.5,0) -- ++(1,0) node[above right] {$y$};
\draw[<-] (4,0.25) node[right,xshift=1mm,yshift=1mm] {$+$} --++ (0,0.5)
node[above] {$d$};
\draw[->] (5,0) -- ++(0,-1.5) -- (3.5,-1.5);
\draw[->] (2,-1.5) -- (0.75,-1.5) -- ++(0,1.25)
node[right,xshift=1mm,yshift=-1mm] {$-$};
\draw (2,-1.5-0.5) rectangle (3.5,-1.5+0.5) node[midway] {$\frac{1}{s(Js+b)}$};
\end{tikzpicture}
Τότε προκύπτει (για είσοδο \( \frac{1}{s} \), αφού αναζητούμε σφάλμα θέσης):
\begin{align*}
T(s) &= \frac{1}{s(Js+b)}\frac{κ}{1+\frac{κ}{s(Js+b)}}
= \frac{κ}{s(Js+b)+κ}\\
T_{d}(s) &= \frac{1}{s(Js+b)}\frac{1}{1+\frac{κ}{s(Js+b)}}
= \frac{1}{s(Js+b)+κ}
\\
y(s) &= T(s)r(s) + T_d(s)d(s)
\\ &= \frac{1}{s}\frac{κ}{s(Js+b)+κ} + \frac{1}{s}\frac{1}{s(Js+b)+κ}
\\
e(s) &= r(s) - y(s) \\
e_{\mathrm{ssp}} &= \lim_{s\to 0} se(s)
\\ &= \lim_{s \to 0} s\left[
\frac{1}{s} - \frac{1}{s}\frac{κ}{s(Js+b)+κ} - \frac{1}{s}\frac{1}{s(Js+b)+κ}
\right]
\\
&= \lim_{s\to 0} \left[
1 - \frac{κ}{s(Js+b)+κ} - \frac{1}{s(Js+b)+κ}
\right] \\
&= 1-\frac{κ}{κ}-\frac{1}{κ} = -\frac{1}{κ}
\end{align*}
Δηλαδή βλέπουμε ότι η διαφορετική θέση της εισόδου διαταραχής επηρεάζει το σφάλμα θέσης του
συστήματος.
Αν, προσπαθώντας να μειώσουμε στο 0 το σφάλμα της εξόδου, προσθέσουμε έναν ολοκληρωτή
πριν από την είσοδο διαταραχής:
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\draw[->] (-0.25,0) -- (0.5,0) node[above,midway] {$r(s)$};
\draw (0.75,0) circle (0.25);
\draw (1,0) -- ++(0.5,0);
\draw (1.5,-0.5) rectangle (3,0.5) node[midway] {$\sfrac{κ}{\color{cyan!70!black} s}$};
\draw (3,0) -- (3.75,0);
\draw (4,0) circle (0.25);
\draw (5,-0.5) rectangle (6.5,0.5) node[midway] {$\frac{1}{s(Js+b)}$};
\draw (4.25,0) -- (5,0);
\draw[->] (6.5,0) -- ++(1,0) node[above right] {$y$};
\draw[<-] (4,0.25) node[right,xshift=1mm,yshift=1mm] {$+$} --++ (0,0.5)
node[above] {$d$};
\draw[->] (7,0) -- ++(0,-1.5) -- (0.75,-1.5) -- ++(0,1.25)
node[right,xshift=1mm,yshift=-1mm] {$-$};
\end{tikzpicture}
τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος γίνεται:
\[
Js^3+bs^2+κ = 0
\]
που έχει ρίζες στο δεξί ημιεπίπεδο, άρα οδηγεί σε ασταθές σύστημα (θυμόμαστε από τα Κ3 ότι μόνο τα πολυώνυμα με θετικούς συντελεστές \textit{μπορεί} να οδηγήσουν σε ευστάθεια).
Για να διορθώσουμε αυτήν την ατέλεια, χρησιμοποιούμε έναν \textbf{ελεγκτή PI}
(Proportional \& Integral), δηλαδή πολλαπλασιάζουμε την είσοδό του \( e(t) \)
με \( K_P e(t) \) και ολοκληρώνουμε με
\( K_I \int e(t) \).
\begin{defn}{Ελεγκτής PI}{}
Ο \textbf{ελεγκτής PI} (Proportional \& Integral) είναι ένας ολοκληρωτής που
προσθέτει το αποτέλεσμα του \textbf{πολλαπλασιασμού} και της
\textbf{ολοκλήρωσης} στην είσοδό του.
Σύμφωνα με την παραπάνω παράγραφο, η έξοδος \( u(t) \) ενός ελεγκτή PI είναι:
\[
u(t) = K_P\cdot r(t) + K_I \int r(t) \dif t
\]
(όπου \( r \) η είσοδος)
και, μετασχηματίζοντας κατά Laplace:
\[
u(s) = \left( K_P + \frac{K_I}{s} \right) \cdot r(s) =
\frac{K_P\left( s+\frac{K_I}{K_P} \right) \cdot r(s)}{s}
= \frac{K_P(s+z)}{s} \cdot r(s)
\]
όπου \( z = \frac{K_I}{K_P} \) μία σταθερή τιμή.
Παρατηρούμε ότι ο ελεγκτής αυτός ουσιαστικά εισάγει έναν \textbf{ολοκληρωτή}
και ένα \textbf{μηδενικό}.
\end{defn}
Στο συγκεκριμένο παράδειγμα, αντικαθιστούμε τη συνάρτηση μεταφοράς \( \sfrac{κ}{s} \) με
τη συνάρτηση:
\[
K_p\left(\frac{s+z}{s}\right)
\]
όπου \( z = \frac{K_I}{K_P} \),
και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο γίνεται:
\[
x(s) = Js^3 + bs^2 + K_p s + K_I = 0
\]
που μπορεί να είναι ευσταθές με κατάλληλη επιλογή των σταθερών.
\paragraph{Παράδειγμα} \hspace{0pt}
Στο σύστημα χωρίς βρόχο, δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους τύπους, αλλά πρέπει
να εκμεταλλευτούμε τον ορισμό του σφάλματος:
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
\draw[->] (0,0) -- (1.5,0) node[above,midway] {$r(s)$};
\draw (1.5,-0.5) rectangle (3,0.5) node[midway] {$H_κ(s)$};
\draw[->] (3,0) -- ++(1.5,0) node[above,midway] {$y(s)$};
\end{tikzpicture}
\begin{align*}
e_{\mathrm{ssp}} &= \lim_{s\to 0} se(s)
= \lim_{s\to 0}s \left( r(s) - y(s) \right)
= \lim_{s\to 0}s\left( \frac{1}{s} - H_κ(s)\cdot \frac{1}{s} \right)
= \lim_{s\to 0}\left(1-H_κ(s)\right) \\
e_{\mathrm{ssv}} &= \lim_{s\to 0} \frac{1-H_κ(s)}{s} \\
e_{\mathrm{ssa}} &= \lim_{s\to 0} \frac{1-H_κ(s)}{s^2}
\end{align*}
\begin{exercise}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\draw[->] (-0.25,0) -- (0.5,0) node[above,midway] {$r(s)$};
\draw (0.75,0) circle (0.25);
\draw (1,0) -- ++(0.5,0);
\draw (1.5,-0.5) rectangle (3,0.5) node[midway] {$H(s)$};
\draw (3,0) -- (3.75,0);
\draw[->] (3.25,0) -- ++(1,0) node[above right] {$y$};
\draw[->] (3.6,0) -- ++(0,-1.5) -- (1.5,-1.5) -- (0.75,-1.5) -- ++(0,1.25) node[right,xshift=1mm,yshift=-1mm] {$-$};
\end{tikzpicture}
\[
H(s) = \frac{s+9}{s^2+7s+3}
\]
Τι σφάλμα θέσης έχει το παραπάνω σύστημα;
\tcblower
\begin{align*}
e_{\mathrm{ssp}} &= \frac{1}{1+K_{\mathrm{pos}}} \\
K_{\mathrm{pos}} &= \lim_{s\to 0} H(s) = \frac{9}{3} = 3 \implies \\
e_{\mathrm{ssp}} &= \frac{1}{1+3} = \frac{1}{4}.
\end{align*}
\end{exercise}
\begin{exercise}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\draw[->] (-0.25,0) -- (0.5,0) node[above,midway] {$r(s)$};
\draw (0.75,0) circle (0.25);
\draw (1,0) -- ++(0.5,0);
\draw (1.5,-0.5) rectangle (3,0.5) node[midway] {$H(s)$};
\draw (3,0) -- (3.75,0);
\draw[->] (3.25,0) -- ++(1,0) node[above right] {$y$};
\draw[->] (3.6,0) -- ++(0,-1) -- (1.5,-1) -- (0.75,-1) -- ++(0,0.75) node[right,xshift=1mm,yshift=-1mm] {$-$};
\end{tikzpicture}
Στο παραπάνω σχήμα, θέτουμε:
\[
H(s) = \frac{2(s+10)}{s(s+2)(s+5)}
\]
Τι σφάλματα έχει το παραπάνω σύστημα;
\tcblower
\begin{alignat*}{2}
K_{\mathrm{pos}} &= \infty \\
K_{\mathrm v} &= \lim_{s\to 0} sH(s) &&= \frac{20}{10} = 2 \\
K_{\mathrm a} &= 0 \\[2ex]
e_{\mathrm{ssp}} &= \frac{1}{1+\infty} &&= 0 \\
e_{\mathrm{ssv}} &= \frac{1}{K_{\mathrm v}} &&= \frac{1}{2} \\
e_{\mathrm{ssa}} &= \frac{1}{0} &&= \infty
\end{alignat*}
\end{exercise}
\begin{exercise}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\draw[->] (-0.25,0) -- (0.5,0) node[above,midway] {$r(s)$};
\draw (0.75,0) circle (0.25);
\draw (1,0) -- ++(0.5,0);
\draw (1.5,-0.5) rectangle (3,0.5) node[midway] {$H(s)$};
\draw (3,0) -- (3.75,0);
\draw[->] (3.25,0) -- ++(1,0) node[above right] {$y$};
\draw[->] (3.6,0) -- ++(0,-1) -- (1.5,-1) -- (0.75,-1) -- ++(0,0.75) node[right,xshift=1mm,yshift=-1mm] {$-$};
\end{tikzpicture}
Στο παραπάνω σχήμα:
\[
H(s) = \frac{1.8κ}{s(s+3.3)}
\]
Ποιά πρέπει να είναι η σταθερά \( κ \) ώστε να ισχύει \( e_{\mathrm{ssv}} = 0.327 \);
\tcblower
\begin{align*}
K_{\mathrm{v}} &= \lim_{s\to 0}
sH(s) = \lim_{s \to 0} \frac{1.8κ}{s+3.3} = \frac{18κ}{33} \\
e_{\mathrm{ssv}} &= \frac{1}{K_{\mathrm v}}
= \frac{33}{18κ} = 0.327 \implies \\
κ &= \frac{33}{18\cdot 0.327} \simeq 5.607
\end{align*}
\end{exercise}
\begin{exercise}
Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς \textbf{κλειστού βρόχου} ενός συστήματος:
\[