区间定义
$(a,b)$称为开区间，$[a,b]$称为闭区间，$(a,b]$称为半开区间，$(a,+\infty)$称为无限区间
邻域定义
$a$的邻域$U(a)$：以$a$为中心的任何开区间
$a$的$\delta$邻域$U(a,\delta)$：$U(a,\delta) = {x | |x - a| \lt \delta }$
$a$的$\delta$去心邻域$\mathring U(a,\delta)$：$\mathring U(a,\delta) = {x | 0 \lt |x - a| \lt \delta }$
在一个实数集$E$中，如果存在一个$M$，使得对于任意一个$x\in E$有$x \le M$（或$x \ge M$），那么$M$称为$E$的上（下）确界
如果$E$有上界和下界，那么称$E$有界，反之$E$无界
确界
如果$E$有上界$\beta$，并且对于任意$\epsilon \gt 0$存在$x_0 \in E$使得$\beta - \epsilon \lt x_0$，那么$\beta$就是$E$的上确界
函数的单调性
函数$y = f(x)$的定义域为$D$，区间$I \subset D$，在$I$上任取$x_1 \lt x_2$，有$f(x_1) \le f(x_2)$，那么称函数在$I$单调递增
函数的有界性
函数在定义域内区间$I$如果存在$K$使得任意$x \in I$有$f(x) \le K$，那么$K$称为$f(x)$在$I$的一个上界
如果函数在$I$既有上界也有下界，那么称$f(x)$在$I$有界
函数的奇偶性
如果一个函数$f(x)$定义域$D$关于原点对称，并且对于任意$x\in D$有$f(-x) = -f(x)$，那么函数在$D$为奇函数；如果$f(-x) = f(x)$，那么函数为偶函数
函数的周期性
对于一个定义域为$D$的函数$f(x)$，若存在正数$l$，使得对于$D$上任意$x$，有$f(x) = f(x\pm l)$，那么$f(x)$为周期函数，周期为$l$
反函数
函数$f: D \rightarrow f(D)$是单射，那么其逆映射$f^{-1}: f(D) = D$就是其反函数，$f(x) = y(x \in D) \Rightarrow f^{-1}(y) = x(y \in f(D))$
复合函数
设$y = f(u)$定义域为$D_f$，$u = g(x)$定义域为$D_g$，$R_g \subset D_f$，那么函数$y = f[g(x)], x\in D_g$称为复合函数
基本初等函数
| 名称 |
形式 |
| 幂函数 |
$y = x^a$ |
| 指数函数 |
$y = a^x(a\gt 0) \ y = e^x$ |
| 对数函数 |
$y = \log_a(x)(a\gt 0) $ |
| 三角函数 |
$y = \sin(x) = \dfrac{1}{\csc(x)} \ y = \cos(x) = \dfrac{1}{\sec(x)} \ y = \tan(x) = \dfrac{1}{\cot(x)}$ |
| 反三角函数 |
$y = \arcsin(x) \ y = \arccos(x) \ y = \arctan(x)$ |
其中三角函数：
$$\begin{aligned} \sin(a+b) &= \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b) \ \cos(a+b) &= \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) \ \tan(a+b) &= \dfrac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)} \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} \sin(a)\cos(b) = \dfrac{1}{2}(\sin(a+b) + \sin(a-b))\end{aligned}$$
初等函数
| 名称 |
形式 |
| 取整函数 |
$y = [x]$ |
| 双曲函数 |
$\sh(x) = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2} \ \ch(x) = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2} \ \th(x) = \dfrac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ |
其中双曲函数：
$$\begin{aligned} \sh(a+b) &= \sh(a)\ch(b) + \ch(a)\sh(b) \ \ch(a+b) &= \ch(a)\ch(b) - \sh(a)\sh(b) \end{aligned}$$
$$ arsh(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) $$
推导过程:
令$u = e^y$
$$\begin{aligned} x &= \sh(y) = \dfrac{e^y - e^{-y}}{2} \ &= \dfrac{u - \dfrac{1}{u}}{2} \ 0 &= u^2 - 2ux - 1 \ \Rightarrow u &= x + \sqrt{x^2 + 1} \ \Rightarrow y &= \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) \end{aligned}$$
设数组${x_n}$，其中$x_n = f(n), n\in \mathbb{N}^*$
若对于任意$\epsilon \gt 0$，存在$N \in \mathbb{N}^*$使得$n \gt N$时$| x_n - a | \lt \epsilon$，那么${a_n}$以$a$为极限
$$\lim_{x \rightarrow \infty}x_n = a$$
数列极限具有唯一性，收敛数列${x_n}$一定有界，${x_n}$的子数列也收敛且极限相同
自变量有限值时的函数极限
对于任意$\epsilon \gt 0$，存在$\delta \gt 0$，使得$0 \lt |x - x_0| \lt \delta$（去心邻域）时$| f(x) - A | \lt \epsilon$（即$| f(x) - A |$可以无限小），那么$A$就是$x \rightarrow x_0$时$f(x)$的极限
$$ \lim_{x\rightarrow x_0}f(x) = A $$
左右极限
左右极限分别代表从$x_0$左侧和右侧接近$x_0$时的极限，分别用
$$\lim_{x \rightarrow x_0^-}f(x) \ \lim_{x \rightarrow x_0^+}f(x)$$
表示
自变量无穷大时的函数极限
对于任意$\epsilon \gt 0$，存在$X \gt 0$，使得$|x| \gt X$时$| f(x) - A | \lt \epsilon$（即$| f(x) - A |$可以无限小），那么$A$就是$x \rightarrow \infty$时$f(x)$的极限
$$ \lim_{x\rightarrow \infty}f(x) = A $$
函数极限具有唯一性，局部有界性以及局部保号性（局部符号一致）
无穷小：如果一个函数$f(x)$在$x\rightarrow x_0$时极限为0，那么称$f(x)$为$x\rightarrow x_0$时的无穷小
$$ \lim_{x\rightarrow x_0}f(x) = 0 $$
$x\rightarrow \infty$同理
$$ \lim_{x\rightarrow \infty}f(x) = 0 $$
有限个无穷小的和依然是无穷小
有界函数和无穷小的乘积依然是无穷小
无穷大：如果一个函数$f(x)$在$x\rightarrow x_0$时，$| f(x) |$无限增大，就称$f(x)$为$x\rightarrow x_0$时的无穷大
$$ \lim_{x\rightarrow x_0}f(x) = \infty $$
$x\rightarrow \infty$同理
$$ \lim_{x\rightarrow \infty}f(x) = \infty $$
可以是正无穷或负无穷
$$ \lim_{x\rightarrow \infty}f(x) = -\infty \ \lim_{x\rightarrow \infty}f(x) = +\infty $$
如果$f(x)$无穷小，那么$\dfrac{1}{f(x)}$无穷大
极限四则运算和普通数字四则运算基本相同，这里不再赘述
复合函数极限：设$y = f(g(x))$，$f(g(x))$在$\mathring U(x_0)$内有定义，$\lim_{x\rightarrow x_0}g(x) = a$，$\lim_{u\rightarrow a}f(u) = A$，那么
$$ \lim_{x\rightarrow x_0}f(g(x)) = A $$
夹逼定理
设$f(x),g(x),h(x)$为3个函数，如果
$$ x\in \mathring U(x_0), g(x) \le f(x) \le h(x) \ \lim h(x) = \lim g(x) = A$$
那么
$$ \lim f(x) = A $$
单调有界原理
如果${x_n}$为一数列，且存在$N_0 \in \mathbb{N}^*$使$n \gt N_0$时$x_n$单调，同时$| x_n | \le M$有界，那么${x_n}$收敛
柯西极限准则
${x_n}$收敛的充要条件是对于任意$\epsilon \gt 0$，总存在$N \in \mathbb{N}^*$使得$n \gt N, m \gt N$时有$| x_n - x_m | \lt \epsilon$（无限小）
如果$\lim \dfrac{\beta}{\alpha} = 0$那么$\beta$为$\alpha$的高阶无穷小，$\lim \dfrac{\beta}{\alpha} = \infty$那么$\beta$为$\alpha$的低阶无穷小，$\lim \dfrac{\beta}{\alpha} = c$那么$\beta$为$\alpha$的同阶无穷小，若$c = 1$则为等价无穷小（$\beta$ ~ $\alpha$）
若$\alpha$ ~ $\alpha'$ ， $\beta$ ~ $\beta'$，那么$\lim \dfrac{\beta}{\alpha} = \lim \dfrac{\beta'}{\alpha'}$
若
$$ \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\Delta y = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} [f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)] = 0 $$
或
$$ \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = f(x_0) $$
那么$f(x)$在$x_0$连续
反之若
$f(x)$在$x_0$无定义，或$\lim_{x \rightarrow x_0} f(x)$不存在，或$\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) \neq f(x_0)$
那么$f(x)$在$x_0$间断
可去间断点（一类间断点）
函数$f(x)$在$x_0$处左右极限存在，$\lim_{x \rightarrow x_0^-}f(x) = \lim_{x \rightarrow x_0^+}f(x) \neq f(x_0)$
跳跃间断点（一类间断点）
函数$f(x)$在$x_0$处左右极限存在，$\lim_{x \rightarrow x_0^-}f(x) \neq \lim_{x \rightarrow x_0^+}f(x)$
无穷间断点（二类间断点）
函数$f(x)$在$x_0$处左右极限不存在，$\lim_{x \rightarrow x_0^-}f(x)$和$\lim_{x \rightarrow x_0^+}f(x)$都为$\infty$
振荡间断点（二类间断点）
函数$f(x)$在$x_0$处左右极限不存在，且$x\rightarrow x_0$时无限振荡
一致连续函数
如果$f(x)$在闭区间$[a,b]$连续，那么它在$[a,b]$一致连续
最大最小值定理
闭区间上连续函数一定有最大最小值
有界性定理
闭区间上连续函数必有界
零点定理
若$f(x)$在$[a,b]$连续且$f(a)f(b)\lt 0$，那么$f(x)$在$[a,b]$上必定存在零点
介值定理
若$f(x)$在$[a,b]$连续且$f(a) = A, f(b) = B$那么对于任意一个介于$AB$之间的$C$，$ab$之间至少有一点$\xi$使得$f(\xi) = C$
导数反映函数的瞬时变化速率，定义如下
$$ \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} $$
可以表示如下形式之一
$$ \left. \dfrac{dy}{dx} \right|{x = x_0}, \left. \dfrac{df}{dx} \right|{x = x_0} $$
可导一定连续，连续不一定可导
| 函数 |
导数 |
| $(C)'$ |
$0$ |
| $(x^a)'$ |
$ax^{a-1}$ |
| $(a^x)'$ |
$a^x\ln(a)$ |
| $(e^x)'$ |
$e^x$ |
| $(\log_a x)'$ |
$\dfrac{1}{x\ln(a)}$ |
| $(\ln x)'$ |
$\dfrac{1}{x}$ |
| $(\sin x)'$ |
$\cos x$ |
| $(\cos x)'$ |
$\sin x$ |
| $(\tan x)'$ |
$\dfrac{1}{\cos^2x} = \sec^2x$ |
| $(\csc x)'$ |
$-\csc x \cdot \cot x$ |
| $(\sec x)'$ |
$\sec x \cdot \tan x$ |
| $(\cot x)'$ |
$-\csc^2 x$ |
| $(\arcsin x)'$ |
$\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ |
| $(\arccos x)'$ |
$-\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ |
| $(\arctan x)'$ |
$\dfrac{1}{1 + x^2}$ |
| $(arc\cot x)'$ |
$-\dfrac{1}{1 + x^2}$ |
| $(\sh x)'$ |
$\ch x$ |
| $(\ch x)'$ |
$\sh x$ |
| $(ar\sh x)'$ |
$\dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ |
| $(ar\ch x)'$ |
$\dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$ |
$$ \begin{aligned} &[u(x) \pm v(x)]' = u'(x) \pm v'(x) \\ &[u(x) \cdot v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \\ &\left[\dfrac{u(x)}{v(x)}\right]' = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v^2(x)} \end{aligned} $$
复合求导
$$ \begin{aligned} {f[g(x)]}' &= f'(u)g'(x) \ \dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \end{aligned} $$
求导技巧举例
$$ y = f(x) = \sqrt{\dfrac{(x - 1)(x - 2)}{(x - 3)(x - 4)}} $$
可以对两边同时取对数，最后将$y$代入即可
$$ \begin{aligned} \dfrac{y'}{y} &= \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{1}{x - 2} - \dfrac{1}{x - 3} - \dfrac{1}{x - 4} \right) \ \Rightarrow y' &= \dfrac{1}{2} y \left( \dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{1}{x - 2} - \dfrac{1}{x - 3} - \dfrac{1}{x - 4} \right) \end{aligned} $$
表示形式
$$ \left. \dfrac{d^2 y}{dx^2} \right|{x = x_0}, \left. \dfrac{d^2f}{dx^2} \right|{x = x_0}$$
$$ \dfrac{d^2 f}{dx^2} = \dfrac{d}{dx}(\dfrac{df}{dx}) $$
莱布尼兹公式
$$
\begin{aligned}
&(uv)' = u'v + uv' \\
&(uv)'' = u''v + 2u'v' + v''u \\
&(uv)''' = u'''v + 3u''v' + 3u'v'' + uv''' \\
&(uv)^n = \sum_{k = 0}^n C^k_n u^{n-k} v^{k}
\end{aligned}
$$
反函数
设$y = f(x)$和$x = \varphi(y)$互为反函数
那么$\varphi'(y) = \dfrac{1}{f'(x)}$
由此可以推导
$$
x = \sin y, y = \arcsin x \\
y'_x = \arcsin'{x} = \dfrac{1}{x'_y} = \dfrac{1}{\cos y} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \sin^2y}} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
$$
隐函数
隐函数$F(x,y) = 0$
隐函数求导的基本方法就是对等式左右同时求导
$$ \dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{8} = 1 $$
设左右同时对$x$求导
$$ \dfrac{2x}{16} - \dfrac{2yy'}{8} = 0 $$
最终得到
$$ y' = \dfrac{x}{2y} $$
参数方程
参数方程$\begin{cases} x = \varphi(t) \ y = \psi(t) \end{cases}$
那么$t = \varphi^{-1}(x)$
$y = \psi(\varphi^{-1}(x))$
所以最终可以得到
$$ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{dt}\cdot \dfrac{dt}{dx} = \dfrac{\psi'(t)}{\varphi'(t)} $$
$$ \dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{\psi''(t)\varphi'(t) - \psi'(t)\varphi''(t)}{\varphi'^3(t)} $$
$f(x)$在$x_0$可微$\Leftrightarrow$$f(x)$在$x_0$可导
$y = f(x)$微分公式形式
$$
dy = f'(x)dx
$$
运算法则
$$
\begin{aligned}
&d(u \pm v) = du \pm dv \\
&d(u \cdot v) = udv + vdu \\
&d\left(\dfrac{u}{v} \right) = \dfrac{vdu - udv}{v^2}
\end{aligned}
$$