Số phức là số thể viết dưới dạng a + b*i, trong đó a và b là các số thực, i là nghiệm của phương trình x^2 = -1. Bởi vì không có số thực trong biểu thức nên i được gọi là số ảo. Ví dụ số a + b*i, có a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo.
Số phức chính là sự kết hợp giữa số thực và số ảo.
Về mặt hình học, số phức mở rộng khái niệm đường không gian một chiều thành mặt phẳng phức hai chiều bằng cách sử dụng trục hoành cho phần thực và trục tung cho phần ảo. Một số phức a + b*i có thể được biểu diễn bằng điểm (a, b) trong mặt phẳng phức.
Một số phức có phần thực bằng không được xem là hoàn toàn ảo các số dạng này đều sẽ nằm trên trục tung của mặt phẳng phức. Một số phức có phần ảo bằng không được xem là hoàn toàn thực các số dạng này đều sẽ nằm trên trục hoành của mặt phẳng phức.
| Complex Number | Real Part | Imaginary Part | |
|---|---|---|---|
| 3 + 2i | 3 | 2 | |
| 5 | 5 | 0 | Hoàn toàn thực |
| −6i | 0 | -6 | Hoàn toàn ảo |
Số phức có thể biểu diễn trực quan dưới dạng cặp số (a, b) tạo thành một vector trên sơ đồ, còn gọi là sơ đồ Argand, đại diện cho mặt phẳng phức. Re là trục thực, Im là trục ảo và i thoả mãn i^2 = -1.
Phức không có nghĩa là phức tạp. Mà ở đây nó mang nghĩa bao gồm hai loại số, là thực và ảo kết hợp với nhau để tạo ra số phức.
Một cách khác để xác định điểm P trong mặt phẳng phức, ngoài việc sử dụng tọa độ x và y, là sử dụng khoảng cách tới điểm O, điểm có tọa độ là (0, 0) (gốc tọa độ), cùng với góc nhọn giữa trục Ox và đoạn thẳng OP theo hướng ngược chiều kim đồng hồ. Ý tưởng này cũng giúp biểu diễn toạ độ của số phức.
Giá trị tuyệt đối (hay độ lớn hoặc mô đun) của số phức z = x + yi là :
Đối số của z (thường được gọi là "pha") là góc của đoạn thẳng OP với trục Ox, và được ký hiệu là arg(z). Giống như với mô đun, pha có thể được tìm thấy từ dạng hình chữ nhật x + yi:
Cùng với nhau, r và φ đưa ra một cách khác để biểu diễn số phức, dạng lượng giác, đây là sự kết hợp giữa mô đun và pha để biểu diễn đầy đủ vị trí trên mặt phẳng phức. Việc khôi phục tọa độ ban đầu của hình chữ nhật từ dạng cực được thực hiện bằng công thức gọi là dạng lượng giác:
Sử dụng công thức Euler có thể viết như sau :
Để cộng hai số phức ta cộng từng phần cho nhau :
(a + b * i) + (c + d * i) = (a + c) + (b + d) * i
Ví dụ
(3 + 5i) + (4 − 3i) = (3 + 4) + (5 − 3)i = 7 + 2i
Trong mặt phẳng phức, phép cộng được mô tả như sau :
Để trừ hai số phức ta trừ từng phần với nhau :
(a + b * i) - (c + d * i) = (a - c) + (b - d) * i
Ví dụ
(3 + 5i) - (4 − 3i) = (3 - 4) + (5 + 3)i = -1 + 8i
Để nhân hai số phức, ta nhân từng phần của số phức thức nhất cho số phức thứ hai : Nó được gọi là "FOIL", "Firsts, Outers, Inners, Lasts". Xem phép nhân nhị thức để hiểu thêm chi tiết :
- Firsts:
a × c - Outers:
a × di - Inners:
bi × c - Lasts:
bi × di
Phép nhân sẽ có dạng :
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2
Để thực hiện nhanh hơn ta làm như sau :
(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
Ví dụ
(3 + 2i)(1 + 7i)
= 3×1 + 3×7i + 2i×1+ 2i×7i
= 3 + 21i + 2i + 14i^2
= 3 + 21i + 2i − 14 (because i^2 = −1)
= −11 + 23i
(3 + 2i)(1 + 7i) = (3×1 − 2×7) + (3×7 + 2×1)i = −11 + 23i
Liên hợp của một số là khi ta thay đổi dấu ở phần ảo của số đấy như thế này :
Một liên hợp thường được ký hiệu gạch ngang trên đầu :
______
5 − 3i = 5 + 3i
Trong mặt phẳng phức hai số liên hợp sẽ đối xứng với nhau qua trục số thực.
Ta sử dụng liên hợp để hỗ trợ cho phép chia. Bằng cách nhân cả tử và mẫu cho liên hợp của mẫu
Ví dụ
2 + 3i
------
4 − 5i
Nhân cả tử và mẫu cho 4-5i :
(2 + 3i) * (4 + 5i) 8 + 10i + 12i + 15i^2
= ------------------- = ----------------------
(4 − 5i) * (4 + 5i) 16 + 20i − 20i − 25i^2
Ta có i^2 = -1, nên:
8 + 10i + 12i − 15 −7 + 22i −7 22
= ------------------- = -------- = -- + -- * i
16 + 20i − 20i + 25 41 41 41
Ở ví dụ trước, ta có mẫu số khi nhân liên hợp :
(4 − 5i)(4 + 5i) = 16 + 20i − 20i − 25i^2
Phần ảo (20i -20i) đã tự loại bỏ. Còn i^2 = -1 nên ta rút gọn như sau
(4 − 5i)(4 + 5i) = 4^2 + 5^2
Từ đó, ta có công thức tổng quát như sau :
(a + bi)(a − bi) = a^2 + b^2